探究与代数生成函数等价的递推关系类别

这确实是组合数学里一个挺有意思的问题——毕竟代数生成函数刚好卡在有理函数和D-有限（全纯）函数之间，对应的序列递推关系自然也有它独特的性质，咱们一步步来梳理：

首先先回顾下你提到的两个经典对应关系，这是咱们讨论的基础：

• 如果序列 $a(n)$ 满足常系数线性递推，那它的普通生成函数一定是有理函数；反过来，有理生成函数对应的序列也必然满足常系数线性递推，这个是组合数学里的基础结论了。
• 如果序列 $a(n)$ 满足系数为 $n$ 的多项式的线性递推，那它的普通生成函数是D-有限（全纯）的；反之，D-有限生成函数对应的序列也一定满足这类线性递推。

回到你的核心问题：代数生成函数对应的序列，满足的是多项式型递推关系——换句话说，存在一个非零的多元多项式 $P(x_0, x_1, ..., x_k)$，使得对于所有足够大的 $n$，都有 $P(a(n), a(n+1), ..., a(n+k)) = 0$。和D-有限序列的线性递推不同，这类递推通常是非线性的，但又不是完全任意的非线性递推，它的结构完全由生成函数的代数性来约束。

举个大家熟悉的例子：卡特兰数的生成函数 $C(x) = \frac{1 - \sqrt{1 - 4x}}{2x}$ 是代数函数（满足代数方程 $C(x) = 1 + xC(x)^2$），对应的卡特兰数序列满足的递推就是 $C_{n+1} = \sum_{i=0}^n C_i C_{n-i}$，这就是一个典型的多项式递推——递推式是关于前面若干项的多项式（这里是二次多项式形式的卷积）。

更正式一点说，这类序列被称为代数序列，它们构成的集合是有理序列的自然扩张，同时又完全包含在D-有限序列的集合里。简单总结的话：

• 有理序列 ↔ 常系数线性递推
• 代数序列 ↔ 多项式递推（关于序列项的多项式方程形式的递推）
• D-有限序列 ↔ 多项式系数的线性递推

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Glenn Sun