验证区间[0,1)上定义的函数d是否为度量

嘿，你的疑问其实是个很常见的误区，先给你吃个定心丸：这个函数d确实是一个度量，你担心的那个“d(x,y)=0当且仅当x=y”的公理其实是满足的，咱们一步步拆解来看：

首先明确度量的三个核心公理，我们逐个验证：

1. 非负性与“d(x,y)=0当且仅当x=y” #

• 非负性：不管哪种情况，d(x,y)都是非负的：
  • 当$0\leq|x-y|<\frac{1}{2}$时，$d(x,y)=|x-y|\geq0$；
  • 当$\frac{1}{2}\leq|x-y|<1$时，$1-|x-y|$的取值范围是$(0,\frac{1}{2}]$，显然也非负。
• 关于$d(x,y)=0$的条件：
  要让d(x,y)=0，要么第一种情况里$|x-y|=0$（也就是x=y），要么第二种情况里$1-|x-y|=0$，也就是$|x-y|=1$。但咱们的定义域是$S=[0,1)$，x和y都在这个区间里，最大的$|x-y|$只能无限接近1（比如x=0，y趋近于1），但永远达不到1，所以第二种情况里d(x,y)不可能等于0。因此，只有当x=y时，d(x,y)=0；反过来，如果d(x,y)=0，必然有x=y，这个公理完全满足。

2. 对称性 #

这个很直观：因为$|x-y|=|y-x|$，所以不管是哪种情况，$d(x,y)=d(y,x)$，对称性直接成立。

3. 三角不等式（最关键的一步） #

三角不等式要求对任意$x,y,z\in S$，都有$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$。这个d本质上是把[0,1)这个区间“首尾相连”成一个圆，d(x,y)就是圆上两点的最短弧长，所以三角不等式其实就是圆上“两点之间最短路径”的变形：

• 如果三个点在圆上的分布比较集中，任意两点的距离都小于1/2，那和普通的绝对值度量一样，三角不等式显然成立；
• 如果有两个点的距离≥1/2，比如x=0，y=0.6，z=0.9：
  $d(x,y)=1-|0-0.6|=0.4$，$d(y,z)=|0.6-0.9|=0.3$，$d(x,z)=1-|0-0.9|=0.1$，显然$0.1\leq0.4+0.3$；
• 还有刚好取等的情况：x=0.1，y=0.8，z=0.6，d(x,y)=1-0.7=0.3，d(y,z)=0.2，d(x,z)=0.5，$0.5=0.3+0.2$，满足不等式。

所以所有公理都满足，d是[0,1)上的一个度量，我们通常把它叫做圆周度量，相当于把区间的0和1“粘合”起来形成一个圆，两点的距离就是圆上的最短路径长度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user136524