关于ℝ²非零真子空间命题的替代证明有效性的问询

我需要证明：$\mathbb{R}^2$的非零真子空间一定由某个固定向量的所有标量倍数构成。

我的证明过程：

该子空间的维度必须大于0（因为它非零），但又不能等于2（否则它就张成了整个$\mathbb{R}^{2$，不再是真子空间）。因此它的维度只能是1。而$\mathbb{R}}2$中维度为1的子空间都可以表示为$\text{span}({v})$，其中$v \in \mathbb{R}^2$，也就是说这个子空间就是某个单一向量的所有标量倍数的集合。$\square$

我注意到Hoffman-Kunze教材的解答手册里给出的证明和我的不一样，所以想问问大家，我的这个替代证明是否有效？会不会太过于“想当然、不严谨”（hand-wavey）了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Hank Igoe