关于分块实对称半正定矩阵非对角块乘积半正定性的问询

各位矩阵论领域的大神们好，我最近碰到一个问题，想请大家帮忙解惑：

现有两个实对称半正定矩阵 $A\geq0$ 和 $B\geq0$，它们的分块形式如下：

$$
A=
\begin{pmatrix}\begin{array}{@{}c|c@{}}
A_{11} & A_{12} \ \hline
A_{21} & A_{22} \
\end{array}\end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix}\begin{array}{@{}c|c@{}}
B_{11} & B_{12} \ \hline
B_{21} & B_{22} \
\end{array}\end{pmatrix}
$$

因为A和B都是实对称矩阵，所以显然有 $A_{21}=A_{12}^{T$，$B_{21}=B_{12}}T$。我想确认的是：$A_{12}B_{21}$ 是否一定是半正定矩阵（也就是满足 $A_{12}B_{21}\geq0$）呢？

麻烦各位不吝赐教，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tamih100