关于群PSL(2,q)中Borel子群相关性质的技术问询

先来明确你提到的核心问题，我们一步步拆解：

1. 什么是T对P的不可约作用，为什么成立？ #

首先，不可约作用的定义：因为P是初等阿贝尔p-群，我们可以把它等价看作$\mathbb{F}_p$上的有限维向量空间$V$（维度为$k$，其中$q=p^k$）。T在P上的共轭作用会诱导出T在$V$上的线性变换（因为P是阿贝尔群，共轭是自同构，且保持$\mathbb{F}_p$-线性结构）。所谓“T作用不可约”，就是说$V$不存在非平凡的T-不变子空间——即没有满足$0 \neq W \neq V$的子空间$W$，使得对任意$t \in T$和$w \in W$，$t$共轭$w$的结果仍在$W$中。

接下来看为什么这个作用是不可约的：我们可以用具体的共轭计算验证。
取P中元素$x = \begin{pmatrix}1 & a \0 &1\end{pmatrix}Z$，T中元素$t = \begin{pmatrix}\lambda &0\0&\lambda^{-1}\end{pmatrix}Z$，在SL(2,q)中计算共轭：
$$t x t^{-1} = \begin{pmatrix}\lambda &0\0&\lambda^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 &a\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\lambda^{-1} &0\0&\lambda\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & \lambda^2 a \0 &1\end{pmatrix}$$
模掉Z后，这对应P中的元素$\begin{pmatrix}1 & \lambda^2 a \0 &1\end{pmatrix}Z$。如果我们把P和$\mathbb{F}_q$（作为$\mathbb{F}_p$向量空间）等同，那么T的作用就转化为：每个$t \in T$对应$\mathbb{F}_q^{*$中的平方元$\lambda}2$，作用是乘法$t \cdot a = \lambda^2 a$。

现在假设存在非平凡的T-不变子空间$W \subset \mathbb{F}_q$：

• $W$是$\mathbb{F}_p$-子空间，大小为$p^m$（$m < k$），且对T对应的平方子群$S = {\lambda^2 \mid \lambda \in \mathbb{F}_q^*}$的乘法封闭。
• $S$是$\mathbb{F}_q^*$的循环子群，阶为$\frac{q-1}{2}$。由于$q \equiv 3 \mod 4$，$\frac{q-1}{2}$是奇数，且$p^m - 1$（$m < k$）无法被$\frac{q-1}{2}$整除（比如当$q=p$时，$\mathbb{F}_q$是1维空间，没有非平凡子空间；当$q=p^{k$且$k>1$时，$p}m -1 < q-1$，且奇数阶的$S$无法在大小为$p^m$的子空间上封闭作用，轨道大小会超过子空间大小）。
• 这就矛盾了，因此不存在这样的非平凡子空间，T对P的作用是不可约的。

2. 不可约作用如何推出P中每个元素都是换位子$[g,a]$？ #

首先，换位子$[g,a] = g^{-1}a{-1}ga$，由于P是B的正规子群，$a^{-1}ga \in P$，所以$[g,a]$必然属于P。

我们考虑集合$C = { [g,a] \mid g \in P, a \in T }$，需要证明$C=P$：

• $C$是P的子群：因为P是阿贝尔群，$[g_1,a_1][g_2,a_2] = [g_1g_2, a_1a_2]$（可以直接展开验证），所以C对群运算封闭。
• $C$是T-不变的：对任意$t \in T$，$t[g,a]t^{-1} = [tgt^{-1}, tat^{{-1}]$，而$tat}{-1} \in T$（T是子群），$tgt^{-1} \in P$（P正规），所以这个结果仍在C中。
• 由于T对P作用不可约，P的T-不变子群只能是${1}$或P本身。而B是Frobenius群，Frobenius补T不中心化核P（否则B是直积而非半直积），所以存在$g \in P$和$a \in T$使得$[g,a] \neq 1$，即$C \neq {1}$。因此$C=P$，也就是说P中的每个元素都可以写成$[g,a]$的形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Riju