证明含向量未知量的约束系统恒存在解的技术求助
你好！首先得肯定你已经完成了非常关键的简化步骤——把原系统的冗余约束（比如$x_{y,v} \leq 1$、约束(4)）都去掉了，确实让问题清晰了很多。不过这里有个小细节需要纠正：约束(4)其实是由(1)和$q_0+q_1=1$共同推导出来的，并非由(2)推导而来，不过这对你简化后的系统没有影响，简化后的核心约束是完全正确的。
接下来我们一步步分析这个简化后的系统是否对任意$q_0,q_1,\boldsymbol{z}$都存在解：
先明确简化后的核心约束
我们的目标是找到非负向量$\boldsymbol{x}0=(x{0,v}){v\in\mathcal{V}}$、$\boldsymbol{x}1=(x{1,v}){v\in\mathcal{V}}$，满足：
- 和约束：$\boldsymbol{x}0 \cdot \boldsymbol{1}{|\mathcal{V}|} = q_0$，$\boldsymbol{x}1 \cdot \boldsymbol{1}{|\mathcal{V}|} = q_1$（向量与全1向量的点积等于$q_y$，即分量和为$q_y$）
- 不等式约束：$\boldsymbol{x}_1 \cdot \boldsymbol{z} \geq 0$，$\boldsymbol{x}_0 \cdot \boldsymbol{z} \leq 0$（其中$\boldsymbol{z} = \boldsymbol{z}_1 - \boldsymbol{z}_0$）
- 非负性：$x_{y,v} \geq 0$ 对所有$y\in{0,1},v\in\mathcal{V}$
分情况讨论解的存在性
因为$|\mathcal{V}| \geq 2$，我们先定义两个关键元素：
- $v_{\text{max}} \in \mathcal{V}$：满足$z_{v_{\text{max}}} = \max_{v\in\mathcal{V}} z_v$（$\boldsymbol{z}$的最大分量）
- $v_{\text{min}} \in \mathcal{V}$：满足$z_{v_{\text{min}}} = \min_{v\in\mathcal{V}} z_v$（$\boldsymbol{z}$的最小分量）
情况1：$\boldsymbol{z}$既有正分量又有负分量（$z_{v_{\text{max}}} \geq 0$且$z_{v_{\text{min}}} \leq 0$）
这是最普遍的情况，我们可以直接构造出满足所有约束的解：
- 对$\boldsymbol{x}1$：将全部$q_1$分配给$v{\text{max}}$，即$x_{1,v_{\text{max}}} = q_1$，其余$x_{1,v}=0$。此时$\boldsymbol{x}1 \cdot \boldsymbol{z} = q_1 \cdot z{v_{\text{max}}} \geq 0$，完美满足不等式约束。
- 对$\boldsymbol{x}0$：将全部$q_0$分配给$v{\text{min}}$，即$x_{0,v_{\text{min}}} = q_0$，其余$x_{0,v}=0$。此时$\boldsymbol{x}0 \cdot \boldsymbol{z} = q_0 \cdot z{v_{\text{min}}} \leq 0$，也满足约束。
这个构造显然同时满足非负性和和约束，是一个有效的解。
情况2：$\boldsymbol{z}$的所有分量均为非负（$z_v \geq 0$ 对所有$v\in\mathcal{V}$）
此时$\boldsymbol{x}0 \cdot \boldsymbol{z} = \sum{v\in\mathcal{V}} x_{0,v} z_v$，因为$x_{0,v} \geq 0$、$z_v \geq 0$，且$\sum x_{0,v}=q_0$：
- 如果$q_0 > 0$且$\min_{v\in\mathcal{V}} z_v > 0$，则$\boldsymbol{x}_0 \cdot \boldsymbol{z} \geq q_0 \cdot \min z_v > 0$，直接违反$\boldsymbol{x}_0 \cdot \boldsymbol{z} \leq 0$的约束，此时系统无解。
- 只有当$q_0=0$（即$q_1=1$），或者$\boldsymbol{z}$全为0时，系统才有解：前者$\boldsymbol{x}_0$全为0自然满足约束；后者任意满足和约束的非负$\boldsymbol{x}_0,\boldsymbol{x}_1$都是解。
情况3：$\boldsymbol{z}$的所有分量均为非正（$z_v \leq 0$ 对所有$v\in\mathcal{V}$）
类似情况2：
- 如果$q_1 > 0$且$\max_{v\in\mathcal{V}} z_v < 0$，则$\boldsymbol{x}_1 \cdot \boldsymbol{z} \leq q_1 \cdot \max z_v < 0$，违反$\boldsymbol{x}_1 \cdot \boldsymbol{z} \geq 0$的约束，此时系统无解。
- 只有当$q_1=0$（即$q_0=1$），或者$\boldsymbol{z}$全为0时，系统才有解。
最终结论
你的结论并不完全成立：当$\boldsymbol{z}$的所有分量同号（全正或全负），且对应的$q_y > 0$（比如$\boldsymbol{z}$全正且$q_0>0$，或$\boldsymbol{z}$全负且$q_1>0$）时，系统不存在解；只有当$\boldsymbol{z}$既有正分量又有负分量，或者$\boldsymbol{z}$全为0，或者对应的$q_y=0$时，系统才有解。
如果你的问题中隐含了$\boldsymbol{z}$既有正分量又有负分量的条件，那之前的构造方法就可以直接证明解的存在性；如果没有这个条件，那原系统并非对任意$q_0,q_1,\boldsymbol{z}$都有解。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Star
