随机抽取对象中编号大于给定值的对象数量的期望值求解

嘿，我来帮你把这个问题的解法理清楚，你的思路其实已经非常接近正确答案啦！

问题回顾 #

我有编号从1到n的n个对象，随机取出m个，求其中编号大于x（1≤x≤n）的对象数量的期望值。

你的尝试验证 #

你定义了$p(i)$为恰好有i个对象编号大于x的概率，期望为$\sum_{i=1}^{n} ip(i)$，并且猜测$p(i)$的表达式为：
$$ p(i) = \frac{\binom{x}{m-i} \binom{n-x}{i}}{\binom{n}{m}} $$
首先要给你点个赞——这个概率表达式是完全正确的！

为什么呢？我们可以拆分一下逻辑：

• 总共有$x$个编号≤x的对象，$n-x$个编号>x的对象；
• 要选出的m个对象里恰好有i个来自“编号>x”的组，剩下的$m-i$个就必须来自“编号≤x”的组；
• 符合条件的组合数就是$\binom{n-x}{i} \times \binom{x}{m-i}$，除以总的抽取组合数$\binom{n}{m}$，就得到了恰好抽到i个目标对象的概率。

期望值的闭形式求解 #

你提到想知道这个求和是否有闭形式解，答案是肯定的，而且有两种简单的推导方式：

方法1：利用超几何分布的性质

其实这个问题本质上是超几何分布的应用：

• 总体数量$N = n$；
• 总体中“成功”类（编号>x）的数量$K = n-x$；
• 抽取的样本量$n = m$；

超几何分布的期望值公式是$E = m \times \frac{K}{N}$，代入后直接得到：
$$ E = \frac{m(n-x)}{n} $$

方法2：指示变量法（更直观）

我们可以用指示变量来简化计算，不用复杂的求和：

• 给每个编号>x的对象定义一个指示变量$X_j$（j从x+1到n）：如果这个对象被抽到，$X_j=1$，否则$X_j=0$；
• 设目标总数量为$Y$，那么$Y = X_{x+1} + X_{x+2} + ... + X_n$；
• 根据期望的线性性，$E[Y] = \sum_{j=x+1}^n E[X_j]$；

每个$X_j$的期望就是该对象被抽到的概率——从n个对象里抽m个，每个对象被抽到的概率都是$\frac{m}{n}$。而这样的$X_j$一共有$n-x$个，所以：
$$ E[Y] = (n-x) \times \frac{m}{n} = \frac{m(n-x)}{n} $$

总结 #

不管用哪种方法，最终的期望值都是$\frac{m(n-x)}{n}$。你的初始概率推导是正确的，通过组合数求和也能得到这个结果，但用超几何分布或者指示变量法会更高效简洁哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者semilocallysimplyconnected