求解满足给定对数不等式的最优常数C的技术问询

我最近在研究一类对数不等式的最优边界问题，目前已经有了初步进展，但在确定核心的最优常数C时遇到了瓶颈，想和大家探讨具体的解决思路，以下是详细情况：

基础参考不等式 #

先给大家一个可以参考的（优雅）不等式作为背景：
$$x \log_2\frac{1}{x}+(1-x) \log_2\frac{1}{1-x} \geq 1- (1-\frac{x}{1-x})^2$$

核心问题：寻找最优常数C #

我们需要找到最优常数C，使得对于所有$x\in(0,0.5]$，以下不等式恒成立：
$$\frac{1}{\ln\left(2\right)}\left(x\ln\left(\frac{1}{x}\right)+\left(1-x\right)\ln\left(\frac{1}{1-x}\right)\right)+\frac{\ln\left(1-2\left(1-x\right)x\right)}{\ln\left(2\right)}\leq -\left(1-\left(1-\frac{x}{1-x}\right)^{{2}+\frac{\ln\left(1-f\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}{C-1}}-x^{C}\right)x{C}\right)}{\ln\left(2\right)}\right)$$
其中辅助函数$f(x)$的定义为：
$$f\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2^{C-1}}-x{C}\right)^{-1}x{-C}$$

当前遇到的困难与初步分析 #

• 我发现目标函数在$x\to0$的邻域内导数存在异常行为，所以从$x\to0$时的渐近近似入手推导C，可能是一个有效的突破口
• 目前通过数值尝试得到了一个近似值$C\simeq 0.76131$，但需要严格推导这个最优值，或者证明它的最优性

已有的辅助思路与尝试 #

我已经做了一些相关尝试，也整理了一些可利用的工具：

• 如果最优C不存在闭式解，我们可以尝试验证$C=e^{-3/11}$是否满足上述不等式
• 可以利用另一个无需导数即可证明的不等式来辅助推导：
  $$x\ln x+(1-x)\ln(1-x) \geq\ln \left(1-\sqrt{x(1-x)}\right)$$
  这个不等式属于二元AM-GM的新边界结论
• 我推导得出，当$x\to0$时存在如下等价极限关系，或许能用于约束C：
  $$\lim_{x\to 0}\frac{\ln\left(C\right)}{f\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{\ln\left(kC\right)}{\ln\left(\frac{k}{d}\right)\cdot f\left(x\right)}-\ln\left(d\right)=\lim_{x\to 0}-\frac{\ln\left(kC\right)}{\ln\left(2\right)\cdot f\left(x\right)}-\frac{\ln\left(kC\right)}{\ln\left(2-\frac{k}{1+d}\right)\cdot f\left(x\right)}=0$$
  其中参数满足$\ln\left(\frac{k+1}{-\left(1-f\left(\frac{1}{2}\right)\right)}\right)=2$，且$d\approx0.827...$

补充更新（2023年1月12日） #

基于上述参数，令$d+c=k$，定义函数：
$$h\left(x\right)=\left(\frac{\ln\left(C\right)}{f\left(\frac{1}{2}\right)}-\frac{\ln\left(pC\right)}{\ln\left(\frac{p}{d}\right)\cdot f\left(x\right)}-\ln\left(d\right)\right)$$
这里$p$取卡特兰常数加1，即$p\approx1.915...$

同时定义一个级数函数：
$$r\left(x\right)=\sum_{n=1}^{{\infty}\frac{1}{e}{x^{2}n}+1+\ln\left(1+e\right)}$$
可以观察到近似关系：$r(c)\simeq h(c)$，另外也可以参考q-多伽玛函数的相关推导来进一步分析。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Barackouda