神经网络推理方向变换下代数几何解集合与多项式系统的变化规律及相关数学理论咨询

先跟大家聊聊我的研究背景和具体问题：

假设我们定义一个代数几何解集合 $V(x)$：
$$V(x)={x\in\Bbb R^n | F(x)=0}$$
这里的 $F(x)$ 是一组 $n$ 元多项式（换句话说，$F(x)=0$ 是一个代数几何方程组），对应 $n$ 维向量空间里的点集。

我把这个解集合和神经网络场景结合了起来：假设有一个包含 $n$ 个神经元的网络层（对应 $n$ 维的神经元激活向量），这个 $V(x)$ 可以被赋予实际语义——比如当激活向量属于 $V(x)$ 时，网络输入图片里是狗；如果激活向量在 $V(x)$ 之外，输入图片里就是猫。

接下来考虑层间的变换：这个 $n$ 维层连接到一个 $m$ 维层，两者之间是常规的神经元变换：
$$y=\sigma(Wx+b)$$
其中 $x\in\Bbb R^n$，$y\in\Bbb R^m$，$W$ 是权重矩阵，$b$ 是偏置向量，$\sigma$ 是逐元素作用的激活函数（也就是 $\sigma$ 其实是 $m$ 个函数，通常是非线性的）。

当我们把这个变换作用在 $V(x)$ 上时，会得到一个新的集合 $T(y)\subset\Bbb R^m$，而这个 $T(y)$ 也可以是某个代数几何方程组 $G(y)=0$ 的解集合。

我的核心问题是： 是否存在相关的数学理论、结论或定理，能够描述在这种神经网络变换下，$T(y)$ 相对于 $V(x)$ 的性质，或者 $G(y)$ 相对于 $F(x)$ 的性质？

我之前了解到解集合可以推广为概形（schemes），每个概形都对应一个特定的环。所以我的问题也可以延伸为：在神经网络变换下，这些关联的环会有怎样的性质变化？

还有一些更深入的思考：比如在什么条件下，这类解集合的全体能构成集合范畴的一个笛卡尔闭合子范畴？我们知道这类范畴可以作为某种类型系统/逻辑的解释，也就是说在这种情况下，解集合的全体可以编码某种语义——这也是我提出当前问题的深层动机。

我已经找到了一些相关的研究工作，但还想了解更多已有的成果，特别是关于神经网络推理方向的变换下，解集合（及其对应的多项式系统）的行为规律。另外，类似的问题也可以延伸到反向传播方向（也就是神经网络训练过程中的变换），但当前我的关注点主要在推理方向。

还有一个可能的研究方向我也想请教：是否可以考虑解集合的代数拓扑性质（比如上同调群链），并分析它们在神经网络变换下的变化？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TomR