同圆心圆中从内圆点延伸的水平、垂直线与外圆最近交点求解

嘿，我来帮你把这个同心圆的交点计算问题拆解清楚～

首先先统一一下前提，避免混淆：

• 我们把外圆半径记为 $R = \max(r_1, r_2)$，内圆半径记为 $r = \min(r_1, r_2)$，这样不管你给的 $r_1$ 和 $r_2$ 谁大谁小，都能统一处理；如果 $r_1=r_2$，那两圆完全重合，交点就是点 $(x_0,y_0)$ 本身，这个情况先记下来。
• 已知 $(x_0,y_0)$ 在内圆上，所以它必然满足内圆方程：$x_0^2 + y_0^2 = r^2$。

一、垂直线（$x=x_0$）与外圆的最近交点 $(x_1,y_1)$ #

外圆的方程是 $x^2 + y^2 = R^2$，把 $x=x_0$ 代入进去，就能解出垂直线与外圆的交点纵坐标：
$$y^2 = R^2 - x_0^2$$
所以 $y = \pm\sqrt{R^2 - x_0^2}$，现在要找离 $(x_0,y_0)$ 最近的那个点：

• 如果 $y_0 \geq 0$，那最近的交点纵坐标就是正的那个：$y_1 = \sqrt{R^2 - x_0^2}$，对应点 $(x_0, \sqrt{R^2 - x_0^2})$
• 如果 $y_0 < 0$，那最近的交点纵坐标就是负的那个：$y_1 = -\sqrt{R^2 - x_0^2}$，对应点 $(x_0, -\sqrt{R^2 - x_0^2})$

你也可以用内圆方程简化这个表达式，因为 $x_0^2 = r^2 - y_0^2$，代入后 $y_1 = \pm\sqrt{R^2 - (r^2 - y_0^2)} = \pm\sqrt{(R^2 - r^2) + y_0^2}$，不过直接用原始形式计算也很直观。

二、水平线（$y=y_0$）与外圆的最近交点 $(x_2,y_2)$ #

和垂直方向的逻辑完全一致，把 $y=y_0$ 代入外圆方程：
$$x^2 = R^2 - y_0^2$$
得到 $x = \pm\sqrt{R^2 - y_0^2}$，找最近的交点：

• 如果 $x_0 \geq 0$，最近的交点横坐标是正的那个：$x_2 = \sqrt{R^2 - y_0^2}$，对应点 $(\sqrt{R^2 - y_0^2}, y_0)$
• 如果 $x_0 < 0$，最近的交点横坐标是负的那个：$x_2 = -\sqrt{R^2 - y_0^2}$，对应点 $(-\sqrt{R^2 - y_0^2}, y_0)$

举个实际例子验证一下 #

假设内圆半径 $r=2$，外圆半径 $R=5$，内圆上的点 $(x_0,y_0)=(\sqrt{3},1)$（满足 $(\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 = 2^2$）：

• 垂直线交点：代入 $x=\sqrt{3}$，$y^2=25-3=22$，因为 $y_0=1>0$，所以 $y_1=\sqrt{22}\approx4.69$，交点是 $(\sqrt{3}, \sqrt{22})$
• 水平线交点：代入 $y=1$，$x^2=25-1=24$，因为 $x_0=\sqrt{3}>0$，所以 $x_2=2\sqrt{6}\approx4.90$，交点是 $(2\sqrt{6},1)$

计算一下距离就能发现，垂直线上我们选的点距离原点点更近，完全符合问题要求～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Overjoyed