如何在Coq中使用Lambda函数？语法及代码报错求助

错误根源：自定义λ符号的Notation中，binder参数不需要加引号；同时Identity函数需要多态类型支持，要么显式声明要么让Coq自动推断。

修复后的代码：

Notation "'λ' x .. y , t" := (fun x => .. (fun y => t) ..)
  (at level 10, x binder, y binder, t at level 200,
  format "'[  ' '[  ' 'λ'  x  ..  y ']' ,  '/' t ']'").

(* 显式声明多态类型参数，或去掉类型让Coq自动推断 *)
Definition Identity {A} : A -> A := λ x, x.
Notation "I" := Identity.
Check I. (* 输出：I : forall A : Type, A -> A *)

说明：去掉了变量名的引号，给Identity加上隐式多态参数{A}，Coq会自动处理类型传递，I可直接作用于任意类型的变量。

错误根源：

• 返回类型声明为nat但内部用的是Z类型值，类型不匹配；
• Z不是归纳类型，不能直接用Fixpoint做模式匹配递归；
• 模式匹配分支错误，Z的构造子是Z0、Zpos、Zneg，不是0和n。

修复后的代码（保留你分拆平方的思路）：

Require Import Int.
Require Import ZArith.
Require Import Wellfounded.
Open Scope Int_scope.

Definition double (n : Z) : Z := n * 2.
Definition half   (n : Z) : Z := n / 2.

(* 基于Z的绝对值大小，用良基递归实现 *)
Definition square : Z -> Z.
Proof.
  intro n.
  refine (fix square' n {wf Z.abs_nat n} : Z :=
    match n with
    | Z0 => 0
    | Zpos p => 
      let a := half (Zpos p) in
      let b := Zpos p - a in
      square' a + double (a * b) + square' b
    | Zneg p => square' (Zpos p) (* 负数平方等价于正数平方 *)
    end).
  - (* 证明递归调用的终止性：abs_nat a < abs_nat (Zpos p) *)
    simpl. apply Z.abs_nat_lt.
    rewrite Z.half_lt_pos by apply Zpos_nonzero.
  - (* 证明abs_nat b < abs_nat (Zpos p) *)
    simpl. apply Z.abs_nat_lt.
    rewrite <- Z.sub_lt_iff_lt_add.
    rewrite Z.add_comm. apply Z.half_lt_pos by apply Zpos_nonzero.
Defined.

Lemma square_n_n :
  forall (n : Z),
    square n = n * n.
Proof.
  intro n.
  induction n using Z.induction.
  - simpl. reflexivity.
  - simpl. unfold square. rewrite IHn.
    (* 利用Z的运算性质化简证明 *)
    let a := half (Zpos p) in
    let b := Zpos p - a in
    rewrite Z.add_assoc. rewrite Z.mul_comm a b.
    rewrite <- Z.add_mul_distr_l. rewrite <- Z.add_mul_distr_r.
    rewrite Z.add_assoc. rewrite Z.add_comm (double (a*b)).
    rewrite Z.add_assoc. reflexivity.
  - simpl. rewrite IHn. reflexivity.
Qed.

Close Scope Int_scope.

说明：

1. 将返回类型改为Z，统一类型体系；
2. 使用Wellfounded库的良基递归，基于Z.abs_nat的大小递减保证终止性；
3. 正确匹配Z的三个构造子，负数分支复用正数平方逻辑；
4. 用Z.induction覆盖所有整数情况，结合运算性质完成引理证明。

如果只是需要简单的平方函数，可直接定义：Definition square (n:Z) : Z := n * n.，引理直接用reflexivity即可证明。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Innovations Anonymous