关于第二上同调群中共轭映射属于2-上循环群的验证疑问
最近我在研读《Notas de Matemàtica》续篇里的第二上同调群章节，读到第13页时，作者定义了一个共轭映射，我在验证这个映射属于2-上循环群（$Z2(gHg{-1},A)$）的时候卡壳了，想请教大家帮忙梳理清楚~
前置定义
设群$G$作用在交换群$A$上，$H$是$G$的子群。固定$g \in G$，取$\alpha \in Z^2(H,A)$。
作者定义共轭映射$c_g(\alpha) \in Z2(gHg{-1},A)$为：
$$c_g(\alpha)(x,y) = {^g \alpha(g^{-1}xg, g^{-1} y g)}$$
其中$x,y \in gHg^{-1}$。
我的验证过程
要证明$c_g(\alpha) \in Z2(gHg{-1},A)$，需要验证2-上循环的核心条件：
$$c_g(\alpha)(x,y),,c_g(\alpha)(xy,z) = {^xc_g(\alpha)(y,z)},, c_g(\alpha)(x,yz)$$
左边（LHS）的推导
$$
\begin{align*}
c_g(\alpha)(x,y) c_g(\alpha)(xy,z) &= {^g \alpha(g^{-1}xg, g{-1}yg)}{g \alpha(g^{-1}xy g, g^{-1} zg)} \
&= {^g \left( \alpha(g^{-1}xg, g^{-1}yg) \alpha(g^{-1}xy g, g^{-1} zg) \right)}
\end{align*}
$$
因为$\alpha$本身是$H$上的2-上循环，满足$\alpha(a,b)\alpha(ab,c) = {^a \alpha(b,c)} \alpha(a,bc)$（这里我令$a=g{-1}xg$，$b=g{-1}yg$，$c=g^{-1}zg$），代入后得到：
$$
\text{LHS} = {^g \left( {^x \alpha(g^{-1}y g, g^{-1} zg)} \alpha(g^{-1} xg, g^{-1} yz g) \right)} = {^{gx} \alpha(g^{-1} yg, g^{-1}zg)} , g\alpha(g{-1}xg, g^{-1}yzg)
$$
右边（RHS）的推导
$$
\begin{align*}
{^xc_g(\alpha)(y,z)},, c_g(\alpha)(x,yz) &= {^x \left( ^g \alpha(g^{-1} yg, g^{-1}zg) \right)} , ^g \alpha(g^{-1}xg, g^{-1}yzg) \
&= {^{xg} \alpha(g^{-1} yg, g^{-1}zg)} , ^g \alpha(g^{-1}xg, g^{-1}yzg)
\end{align*}
$$
我的疑问
现在左边和右边就差在这一项：${^{gx} \alpha(g^{-1} yg, g^{-1}zg)}$ 和 ${^{xg} \alpha(g^{-1} yg, g^{-1}zg)}$，我实在搞不懂为什么这两个是相等的？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Infinity_hunter
