关于Weinstein定理与伴随丛上辛结构的证明疑问及求证

我来帮你理清这个关于Weinstein定理证明里的困惑点——你指出的伴随丛和垂直余切丛的“层级错位”确实是个容易混淆的细节，咱们一步步拆解：

首先先明确定理背景：

以下是McDuff & Salamon《辛拓扑导论》第6.2节中引用的Weinstein定理：
定理：设$G \rightarrow Symp(F,\sigma)$是一个哈密顿作用，那么主$G$-丛$P\rightarrow B$上的任意联络都能诱导出伴随纤维化$P \times_G F \rightarrow B$上的一个闭2-形式$\tau$，它在每个纤维上的限制就是$\sigma_b$。

你指出的困惑点完全合理 #

当证明取特殊情形$F = T^G$（带有自然的$G$左哈密顿作用）时，声称伴随丛$P \times_G T^{*G$可以等同于$P$的垂直余切丛$Vert(P)}$，但你注意到的底空间差异是关键：$Vert(P)^*$是以$P$为底空间的丛，而$P \times_G T^*G$是以$B$为底空间的丛，这明显存在层级不匹配——证明这里确实省略了拉回/商空间的细节，咱们来修正这个“等同”。

修正伴随丛与垂直余切丛的对应关系 #

正确的对应需要通过主丛的投影$\pi: P \to B$和$G$-等变商来建立：

• $P \times_G T^*G$是$B$上的丛，每个$b \in B$处的纤维是$(P_b \times T^*G)/G$（$P_b = \pi^{-1}(b)$是主丛的纤维，即$G$-轨道）；
• $Vert(P)^$是$P$上的丛，每个$p \in P$处的纤维是$Vert_p(P)^ = (T_p P_b)^*$（$Vert_p(P)$是$T_p P$中映射到$T_{\pi(p)} B$零向量的子空间，也就是纤维$P_b$的切空间）。

我们可以构造一个**$G$-等变同构**：
$$\phi: Vert(P)^* \to \pi^* (P \times_G T^G)$$
具体来说，对$p \in P$和$\alpha \in Vert_p(P)^{*$，通过左平移$L_{p}{-1}}: P_{\pi(p)} \to G$（把$p$映到$G$的单位元$e$），将$\alpha$对应到$(p, (L_{p^{-1}})^{-1} \alpha)$在商空间中的类。这个对应是$G$-等变的：对$g \in G$，$L_{(pg)^{-1}} = L_{g^{-1}} \circ L_{p^{-1}}$，因此$\alpha$在$pg$处的对应会被$g$作用到$(pg, L_{g^{-1}}* \alpha')$，恰好对应商空间里的同一个类。

取商后，$\phi$诱导出$B$上的丛同构：$Vert(P)^/G \cong P \times_G T^{*G$——这才是证明里真正想表达的“等同”，只是省略了“取商”的步骤，直接把$Vert(P)}$的$G$-商和伴随丛等同了，这就是你察觉到的底空间差异的根源。

基于修正后的对应完成证明 #

现在补全这个特殊情形的证明逻辑：

1. 主丛上的联络等价于$TP$的分裂：$TP = Hor(P) \oplus Vert(P)$，或者等价的满射$A: TP \to Vert(P)$（垂直投影）；
2. 对偶这个分裂得到$T^P = Hor(P)^ \oplus Vert(P)^$，即单射$i: Vert(P)^ \to T^*P$（将垂直余切向量嵌入全余切空间）；
3. $T^{*P$上有标准辛形式$\omega_{can}$，拉回得到$Vert(P)}$上的辛形式$\omega = i^ \omega_{can}$；
4. 因为联络、垂直投影$A$、嵌入$i$都是$G$-等变的，且$\omega_{can}$是$G$-不变的，所以$\omega$可以下降到商丛$Vert(P)^*/G \cong P \times_G T^*G$上，得到所需的闭2-形式$\tau$。

另一种更直接的证明思路 #

如果你觉得伴随丛的对应太绕，也可以直接从一般情形出发构造$\tau$：
设$\theta$是主丛$P$上的$\mathfrak{g}$-值联络形式，$\sigma$是$F$上的$G$-不变哈密顿形式，对应的动量映射$\mu: F \to \mathfrak{g}^$。对伴随丛$E = P \times_G F$上的任意向量场$X, Y$，取它们在$P$上的水平提升$\tilde{X}, \tilde{Y}$（通过联络的水平分布），在$(p, f) \in P \times F$处定义：
$$\tau_{[p,f]} (X,Y) = \sigma_f (\tilde{X}_p \cdot f, \tilde{Y}_p \cdot f) + \langle \mu(f), d\theta_p(\tilde{X}_p, \tilde{Y}_p) \rangle$$
这里$\tilde{X}_p \cdot f$是$G$作用在$f$上的切向量，$\langle \cdot, \cdot \rangle$是$\mathfrak{g}^$与$\mathfrak{g}$的配对。可以验证：

• 定义不依赖于代表元$(p,f)$的选择（$\sigma$是$G$-不变的，$\mu$是动量映射，$\theta$是$G$-等变的）；
• $\tau$是闭的（利用$\sigma$的闭性、联络曲率条件以及动量映射的性质）；
• 限制在纤维上时，水平提升的向量场在纤维上的分量为零，$\tau$退化为$\sigma_b$。

这种方法避开了伴随丛与垂直余切丛的混淆点，直接从哈密顿作用和联络的核心性质出发构造形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者topolosaurus