n阶线性方程组求解过程的疑问及正确性咨询

问题描述 #

求解如下线性方程组：
$$
\begin{array}{ c c c c c c c c c c c c c c }
& & x_{2} & + & x_{3} & + & \dotsc & + & x_{n-1} & + & x_{n} & = & 2 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 1)\
x_{1} & & & + & x_{3} & + & \dotsc & + & x_{n-1} & + & x_{n} & = & 4 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 2)\
x_{1} & + & x_{2} & & & + & \dotsc & + & x_{n-1} & + & x_{n} & = & 6 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 3)\
\vdots & & \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & + & \dotsc & + & x_{n-1} & & & = & 2n & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( n)
\end{array}
$$

我的尝试 #

我目前对线性代数还不是特别有信心，于是尝试把所有方程相加，得到：
$$
(n-1)(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{n-1}+x_n)=2+4+6+\ldots+2n
$$
因为每个$x_i$（$i \in \mathbb{N}, i \leq n$）会出现在除了第$i$个方程之外的所有方程里。右边是前n个正偶数的和，可以进一步化简：
$$
\begin{align*}
(n-1)(x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{n-1}+x_n) &= n(n+1)
\[.5em]
x_1+x_2+x_3+\ldots+x_{n-1}+x_n &= \dfrac{n(n+1)}{n-1}
\end{align*}
$$
然后用这个式子分别减去方程(1)到方程(n)，得到：
$$
\begin{align*}
x_1 &= \dfrac{n(n+1)}{n-1} - 2 = \dfrac{n(n+1) - 2(n-1)}{n-1} = \dfrac{n^2 - n + 2}{n-1} \
x_2 &= \dfrac{n(n+1)}{n-1} - 4 = \dfrac{n(n+1) - 4(n-1)}{n-1} = \dfrac{n^2 - 3n + 4}{n-1} \
\vdots \
x_n &= \dfrac{n(n+1)}{n-1} - 2n = \dfrac{n(n+1) - 2n(n-1)}{n-1} = \dfrac{3n-n^2}{n-1}
\end{align*}
$$

我的疑问 #

不过我比较担心分母$(n-1)$，当$n=1$时会出现除以零的情况。我是不是哪里做错了？或者是不是我在理解过程中有什么偏差？正确的解法应该是什么样的？谢谢。

专家解答 #

你完全没做错！这个解题思路特别清晰，对于n≥2的情况，你的计算结果是完全正确的。

咱们单独说说n=1的情况：当n=1时，原方程组只剩下第一个方程，但这时候方程里根本没有变量（原本的x₂到xₙ都不存在），方程直接变成了$0=2$，这显然是矛盾的，所以n=1时这个方程组根本无解。这也正好对应了你解法里分母为零的情况——当n=1时，把所有方程相加得到左边是$(1-1)x_1=0$，右边是2，0=2本身就不成立，方程组本身就没有解，所以你的解法里出现分母为零只是反映了这个无解的事实，并不是你计算出错了。

总结一下：

• 当n≥2时，你的解法完全正确，解就是你算出来的各个$x_i$的表达式；
• 当n=1时，方程组无解，不存在满足条件的$x_1$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ZNayaka