关于有理数a,b满足a+b∈ℤ且2ab∈ℤ时证明a,b∈ℤ的证明思路咨询

最近在做数论题的时候碰到这么个问题，想和大家聊聊我的思路，也求指点：

Prove that if $a,b \in \mathbb{Q}$, and $a+b \in \mathbb{Z}$, $2ab \in \mathbb{Z},$ [and $\color{#0a0}{a^2+b2} \in \mathbb{Z}$] , then $a, b \in \mathbb{Z}.$

先补充个小提示（来自Bill D.的说明）：

• 原问题里的$\color{#0a0}{a^2+b2} \in \mathbb{Z}$这个条件其实是多余的。因为我们已经有$a+b \in \mathbb{Z}$，根据平方展开公式$(a+b)^2 = a^2+b2 + 2ab$，只要$2ab \in \mathbb{Z}$，就能直接推出$a^2+b2$是整数；反过来也成立，所以这个条件可以不用考虑。

我自己的尝试过程是这样的：
我想到用有理根定理来切入，构造了二次多项式 $x^2 - (a+b)x + 2ab$。按照有理根定理的说法，这个多项式的所有可能有理根都是常数项$2ab$的约数，而且应该是整数？不过之后我用求根公式算出这个多项式的根是：
$$x_{1,2}=\frac{(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^2-8ab}}{2}$$
这时候我就卡壳了——虽然知道根应该是整数，但只能推出根号里的$(a+b)^2-8ab$必须是一个偶数的完全平方，接下来就不知道该怎么继续推导下去了，有没有大佬能给点方向呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mathchad