如何在不计算边缘PDF的情况下判断随机变量的独立性？

我现在正在解决相关问题，对给出的注释有疑问。

我知道独立随机变量必须满足以下条件：
$$
f_{XY}(x,y) = f_{X}(x)f{Y}(y)
$$
其中$f{X}(x)$和$f{Y}(y)$是联合密度$f{XY}(x,y)$的边缘PDF。

基于这个结论，我做了以下分析：

• 情况i：
  $$
  f_{X}(x) = \int\limits{0}^{1} (2x + y)dy = 2x+0.5, ~~~~~~
  f_{Y}(y) = \int\limits{0}^{1} (2x + y)dx = y+1
  $$
  因为$f_{XY}(x,y) \neq f_{X}(x)f{_Y}(y)$，所以我们可以得出$X$和$Y$不独立的结论。

• 情况ii：
  $$
  f_{X}(x) = \int\limits{0}^{1} 2 \lambda e^{-\lambda x} y ~ dy = \lambda e^{-\lambda x}, ~~~~~~
  f_{Y}(y) = \int\limits{0}^{\infty} 2 \lambda e^{- \lambda x} y ~ dx = 2y
  $$
  因为$f_{XY}(x,y) = f_{X}(x)f{_Y}(y)$，所以我们可以得出$X$和$Y$独立的结论。

• 情况iii：
  $$
  f_{X}(x) = \int\limits{0}^{\sqrt{2}} 2 x y ~ dy = 2x, ~~~~~~
  f_{Y}(y) = \int\limits{0}^{1} 2 x y ~ dx = y
  $$
  因为$f_{XY}(x,y) = f_{X}(x)f{_Y}(y)$，所以我们可以得出$X$和$Y$独立的结论。

我知道如果有边缘PDF的话怎么解决这个问题，但完全不知道在没有边缘PDF的情况下该如何判断独立性。注释里说这是可行的，我对此感到困惑。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AdamsK