推广邻接矩阵迹调整法，求解无向网络中特定长度真环数量

对于具有邻接矩阵A的无向网络，3-环的数量可通过公式 $\frac{1}{6}\text{Tr}(A^3)$ 计算得出。

对于4-环，计算公式为 $\frac{1}{8}\left[\text{Tr}(A^4) - 2\sum k^2 + \sum k\right]$，其中$k$为节点的度。$\text{Tr}(A^4)$会统计所有可能的4-环（包括重复访问节点的情况），调整项用于修正ABACA或ABCBA这类重复访问节点/边的环：

• 度为$k$的节点，ABACA形式的环中第2、4个节点各有$k$种选择，对应$k^2$；
• ABCBA形式的环中第2个节点有$k$种选择，第3个节点有$k-1$种选择，对应$k(k-1)$；
  两者总和为$2k^2 -k$，对所有节点求和后从$\text{Tr}(A^4)$中减去。系数$\frac{1}{8}=\frac{1}{2\times4}$是因为每个4-环有4个起始点，且存在顺时针和逆时针两种方向。

我当前的核心需求是找到类似的**5-环（或更长环）**的计算公式。我推测对$\text{Tr}(A^5)$的调整项需要基于包含重复节点的结构（比如ABACDA这类环），但始终无法推导正确的公式。目前我用以下邻接矩阵进行测试：

import numpy as np

A = np.array([
 [0,1,1,1,1,0,0,0],
 [1,0,1,1,1,0,0,1],
 [1,1,0,1,1,0,0,1],
 [1,1,1,0,1,1,1,0],
 [1,1,1,1,0,0,0,0],
 [0,0,0,1,0,0,1,0],
 [0,0,0,1,0,1,0,0],
 [0,1,1,0,0,0,0,0]
])

Tr5 = np.trace(A**5)  # 计算结果为1480
K = np.array([4,5,5,6,4,2,2,2])  # 各节点的度
K2, K3 = K*K, K**3
S_K = np.sum(K)          # ∑k 的值为30
S_K_squared = np.sum(K2) # ∑k² 的值为130
S_K_cubed = np.sum(K3)   # ∑k³ 的值为618

我希望找到形如 $\frac{1}{10}\left[\text{Tr}(A^5) - \text{调整项}\right]$ 的公式，其中调整项为 $a\sum k^3 + b\sum k^2 + c\sum k$。我认为系数$a$需要是5的倍数才能得到整数结果，期待相关解决方案或思路。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Aydin Onac