关于闭区间及不相交闭区间并集的傅里叶维度的技术问询

首先明确傅里叶维度的定义：
对于集合 $S\subset\mathbb{R}^n$，其傅里叶维度是满足以下条件的 $s\in[0,n]$ 的上确界：存在一个博雷尔测度 $m$，使得

• $m(S)\in(0,\infty)$
• $m$ 的紧支撑包含于 $S$
• 对所有 $x\in\mathbb{R}^n$，有 $|\hat{m}(x)|\leq |x|^{-s/2}$

其中傅里叶变换 $\hat{m}(x)$ 的定义为：
$$\hat{m}(x) \equiv \int_{\mathbb{R}^n}e{-2\pi i \xi \cdot x}dm(\xi)$$

我搜了一圈都没找到相关讨论，怀疑是不是问题本身太 trivial，但还是想确认两个点：

1. 给定闭区间 $S := [a, b]\subset\mathbb{R}$，它的傅里叶维度是否等于1？如果是，对应的测度应该怎么选？
2. 如果 $S = \bigcup_{i=1}^K[a_i, b_i]$（$K\in\mathbb{N}$，且当 $i\neq j$ 时 $[a_i, b_i]\cap [a_j, b_j] = \varnothing$），这种情况下傅里叶维度是什么，对应的测度该如何选择？

我的初步尝试与困惑 #

一开始我觉得把勒贝格测度限制在目标区间上应该可行，原点 $x=0$ 的情况可以通过右极限来解释条件。但当 $x\neq0$ 时，我举了个例子发现不对：
取 $a=-2, b=4$，此时限制在 $[a,b]$ 上的勒贝格测度的傅里叶变换模平方为：
$$|\hat{m}(x)|^2 = \left|\frac{i}{2\pi x}\left(e^{-2\pi i xb} - e^{-2\pi ixa}\right)\right|^2 = \frac{1 - \cos\left(2\pi x(b - a)\right)}{2\pi^2x2}$$

如果傅里叶维度是1，那么需要满足 $|\hat{m}(x)|^2 \leq |x|^{-1}$，也就是：
$$1 - \cos\left(2\pi x(b - a)\right) \leq 2\pi^2|x|$$

代入 $b-a=6$ 后得到：
$$1 - \cos\left(12\pi x\right) \leq 2\pi^2|x|$$

但当 $x=0.05$ 时，左边约等于1.309，右边约等于0.987，显然不满足不等式。这说明限制在区间上的勒贝格测度并不总是符合要求（比如当区间是 $[0,1]$ 时似乎是可行的）。所以我想知道，这种情况下应该选择什么样的测度？对于不相交区间的并集又该如何处理？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Epsilon Away