关于证明集合S无法成为ℝ²浸入子流形的最简标准直观方法问询
嘿，我来分享下这个问题的标准思路，其实你的核心想法是对的，但可以提炼得更简洁通用，还能适配尖点曲线、正方形这类类似例子。
首先先明确问题：我们要处理的集合$S = { (x, 0) \in \mathbb R^2: x \leq 0 } \cup { (0, y) \in \mathbb R^2 : y \leq 0 }$，要证明它没法带上合适的拓扑和光滑结构，使得包含映射$\iota: S \to \mathbb{R}^2$成为光滑浸入。
核心思路：从浸入的局部性质+流形维度约束入手
光滑浸入的关键性质是：
- 浸入在每一点的切映射是单射，所以流形$S$的维度$k$必须满足$k \leq \dim \mathbb{R}^2 = 2$；
- $k$维浸入子流形在每一点附近，局部应该能“近似”成$\mathbb{R}^2$中的$k$维线性子空间，且流形本身的局部结构是无分叉的（比如1维流形的每一点邻域都同胚于开区间）。
我们分情况讨论：
情况1：假设$S$是0维流形
0维光滑流形的拓扑必然是离散的，且作为流形必须满足第二可数性。但$S$是不可数集合（负x轴和负y轴都是不可数的），离散的不可数空间不可能是第二可数的（第二可数空间的每个单点集都是开集，而可数基没法覆盖不可数的开集族），直接矛盾。情况2：假设$S$是1维流形
这是最关键的部分，也是能推广到其他例子的核心逻辑：
如果$S$是1维流形，那么原点$p=(0,0) \in S$的邻域必须同胚于开区间$(0,1)$——换句话说，$p$附近的点应该能连成一条无分叉的连续曲线，但$S$在$p$处明显是分叉的：从$p$出发有两个完全独立的分支（负x轴和负y轴），根本没法用一个开区间来覆盖$p$的邻域。再用切空间的严谨角度验证：
1维流形在$p$处的切空间$T_p S$是1维的，而浸入要求$\iota_: T_p S \to T_p \mathbb{R}^2$是单射，所以$\iota_(T_p S)$应该是$\mathbb{R}^2$中的一条1维直线。但我们可以在$S$中取两条光滑曲线：- $\gamma_1(t) = (t, 0)$，$t \in (-\epsilon, 0]$，它在$p$处的切向量$\gamma_1'(0)$被$\iota_*$映射为$\mathbb{R}^2$中的$(-1, 0)$方向向量；
- $\gamma_2(t) = (0, t)$，$t \in (-\epsilon, 0]$，它在$p$处的切向量$\gamma_2'(0)$被$\iota_*$映射为$\mathbb{R}^2$中的$(0, -1)$方向向量。
这两个向量是线性无关的，但它们都属于$\iota_(T_p S)$（因为$\gamma_1, \gamma_2$都是$S$中的曲线，切向量自然在$T_p S$里），这就和$\iota_(T_p S)$是1维空间的结论矛盾了。
推广到其他类似例子
这个思路完全可以套用到你提到的其他习题：
- 尖点曲线（比如$y^2 = x^3$）：原点处所有趋近的曲线的切向量都只能沿x轴方向，但作为1维浸入子流形，局部应该同胚于开区间，可尖点处的像没法满足这一点；同时从切空间角度，虽然切向量方向看似一致，但浸入要求局部是嵌入（局部同胚于像），而尖点处的像有“自交”性质，没法局部同胚于开区间。
- 正方形：每个顶点都是分叉点，和$S$的原点一样，从顶点出发有两个垂直分支，没法用1维流形的邻域覆盖，切空间也会出现两个线性无关的向量，和1维流形的切空间维度矛盾。
其实你自己的思路是没问题的，只是可以把“切向量全为零”的结论换成“切空间包含两个线性无关向量，和1维流形维度矛盾”，这样更直接，也更通用。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kenny Wong
