关于切片纽结的无扭转怀特海德加倍纽结切片性的证明问询：如何让K∪K'在D⁴中张成两个不相交的光滑嵌入圆盘？

先跟大家明确几个基础定义和构造：

• 设$K$是切片纽结：意思是存在一个光滑嵌入的圆盘到4维闭圆盘$D^4$中，这个圆盘的边界恰好就是$K$。
• $K$的正/负无扭转怀特海德加倍纽结的构造：把$K$的一个拷贝$K'$稍微推入$K$的某个Seifert曲面内部，然后给两者添加一个正（或负）扣结（clasp）。

现在我遇到了一个证明上的卡壳点：已知如果初始纽结$K$是切片的，那么通过上面这个构造得到的加倍纽结也应该是切片的。我自己梳理了一个证明思路，但卡在了最关键的一步，想请教大家：

我的思路框架是：
$K$和$K'$本身都是切片纽结，所以它们各自在$D^{4$里都能张成光滑的切片圆盘。如果我能对这两个圆盘做同痕变换（保持它们的边界始终在$S}3$里），让它们变成完全不相交的，那我就可以在$S^3$里给$K$和$K'$的边界之间接上一条扭转带子（对应构造里的扣结），这样得到的整体曲面就是一个圆盘——毕竟它是在两个不相交的圆盘上接了一条带子，拓扑上还是圆盘。

但我现在搞不定的是：怎么证明$K$和$K'$的切片圆盘可以被同痕成不相交的？

我知道必须用到“$K'$是从$K$推入Seifert曲面得到的”这个前提，否则$K$和$K'$的链环数会是非零的，而根据Lickorish在《An Introduction to Knot Theory》里的引理8.13：

若两个纽结能在$D^4$中张成不相交的光滑切片圆盘，则它们的链环数必为0。

如果链环数非零的话，就根本不可能有不相交的切片圆盘，所以这个构造条件肯定是关键。

我自己瞎想了一个方向：是不是可以把$K$的切片圆盘“收缩”成$K'$的切片圆盘，从而让两者不相交？但我又担心4维流形里存在那种曲面必然相交的情况——比如$\mathbb{CP}^{1$在$\mathbb{C}P}2$里就是这样，不管怎么移都会相交。或许可以用$D^4$或者$S4$的平凡相交形式来论证？感觉应该有更直接的答案，但我也顺便好奇：一般情况下，什么时候能把一个曲面从自身推离，得到一个不相交的拷贝？

麻烦各位大佬帮忙解答一下，谢谢大家的时间！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Léo Mousseau