垂直平面上微分形式dx∧dy限制为零的证明及直觉解释问询

嘿，我来帮你拆解这个问题的证明逻辑和背后的直观意义~

首先明确问题陈述：

设$x,y,z$是$\mathbb{R}^{3$上的标准坐标。$\mathbb{R}}3$中的平面称为垂直平面，若它满足$ax + by = 0$（其中$a,b$不同时为0）。证明：微分形式$dx \wedge dy$限制在垂直平面上时等于0。

证明过程 #

我们可以借助拉回（pullback）的性质来严谨推导：

1. 记垂直平面为$S$，包含映射$i: S \to \mathbb{R}^3$（把平面$S$嵌入到三维空间中），那么$dx \wedge dy$在$S$上的限制就是拉回形式$i^*(dx \wedge dy)$。
2. 根据拉回对楔积的分配律，有：
   $$i^(dx \wedge dy) = i^(dx) \wedge i^*(dy)$$
3. 拉回和外微分是可交换的，即$i^*(df) = d(f \circ i)$（$f$为光滑函数），所以上式可以转化为：
   $$d(x \circ i) \wedge d(y \circ i)$$
4. 观察$x \circ i$和$y \circ i$：它们其实就是坐标函数$x,y$在平面$S$上的限制。因为$S$满足$ax + by = 0$，不妨假设$a \neq 0$，那么在$S$上有$x = -\frac{b}{a}y$，这说明$x$在$S$上是$y$的线性函数。对两边做外微分可得：
   $$d(x \circ i) = -\frac{b}{a}d(y \circ i)$$
5. 将这个线性关系代入楔积：
   $$(-\frac{b}{a}d(y \circ i)) \wedge d(y \circ i) = -\frac{b}{a}(d(y \circ i) \wedge d(y \circ i))$$
   由于楔积是反对称的，任何1-形式与自身的楔积都为0，因此上式等于0。如果$b \neq 0$，同理可得$y = -\frac{a}{b}x$，同样能推出楔积为0。

这样就完成了严格证明。

直觉解释 #

这个结果的核心和垂直平面的几何特性紧密相关：

• 微分形式$dx \wedge dy$本质上描述的是$\mathbb{R}^3$中平行于$xy$-平面的二维面积元，它衡量的是向量在$xy$-平面上投影所张成的面积大小。
• 而垂直平面$ax + by = 0$是一个过$z$-轴的平面（方程不含$z$，意味着$z$可以取任意值），这个平面内的所有向量，在$xy$-平面上的投影都落在直线$ax + by = 0$上——也就是说，这些投影都是共线的，根本无法张出$xy$-平面上的二维区域。
• 当我们把$dx \wedge dy$限制在这个平面上时，相当于只关注平面内向量的“$xy$-面积贡献”，但因为所有投影都共线，没有二维面积可言，对应的微分形式自然就退化为0。

另外从函数相关性的角度看：在垂直平面上，$x$和$y$不是独立变量，二者存在线性依赖关系，所以它们的微分是线性相关的。而线性相关的1-形式的楔积必然为0，这也是一个很直观的理解角度。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Victor