仅利用路径计数定义证明离散格林函数行列式分解等式的方法问询

前置定义 #

先明确我们用到的所有离散分析和随机游走相关定义：

• 设 $f : \Bbb Z^d \to \Bbb R$，离散平均值 $\overline{f(x)} : \Bbb Z^d \to \Bbb R$ 定义为：
  $$\overline{f(x)}:=\frac{1}{2d}\sum_{y \in S_x}f(y)$$
  其中 $S_x$ 是 $\Bbb Z^d$ 中 $x$ 的邻点集合。
• 离散拉普拉斯算子 $\Delta f:\Bbb Z^d \to \Bbb R$ 定义为：
  $$ \Delta f(x):=\overline{f(x)}-f(x).$$
• 设有限集合 $D:={x_1,\dots,x_n} \subset \Bbb Z^d$，记 $\Delta_D F$ 为在 $D$ 内等于 $\Delta F$、在 $D$ 外等于0的函数。
• 设 $(X_n)_{n≥0}$ 是 $\Bbb Z^d$ 上的简单随机游走，从 $x$ 出发的概率测度记为 $P_x$。定义首次离开 $D$ 的时间 $\tau = τ_D := \inf{n ≥ 0 : X_n \notin D}$。
• $D$ 上的格林函数 $G_D$ 是定义在 $D × D$ 上的函数，有两种等价定义：
  $$G_D(x,y)=\Bbb E_x\bigg(\sum_{k=0}^{\tau-1}\mathbb 1_{{X_k=y}} \bigg) $$
  $$ =\sum_{k=0}^{\infty#{\text{从}x\text{到}y\text{的}k\text{步且始终在}D\text{内的路径数}}\times\big(\frac{1}{2d}\big)}k$$
  $G_D$ 是对称函数，可表示为对称方阵 $(G_D(x_i,x_j))_{i,j≤n}$，且已知 $G_D^{-1}=-\Delta_D$。

我的问题 #

我已经见过一种涉及高斯自由场（Gaussian Free Field）的证明，但我完全不了解这个领域。我希望仅仅利用格林函数的路径计数定义来证明以下等式：
$$\det G_D =G_D(x_1,x_1)×\det G_{D\backslash {x_1}} $$

我试过几种思路，但都没走通：

• 尝试求 $G_D$ 的特征值：感觉方向完全不对，因为特征值和路径计数的关联太间接。
• 直接展开行列式和 $G_D(x_1,x_1)$ 的求和项：手动对比项的话太复杂，根本理不清。
• 借鉴图论中邻接矩阵的归纳证明思路：但因为 $D$ 是有限集，归纳的逻辑链没法顺畅建立起来。

有没有可行的证明方法？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kilkik