四元数多项式的像可定义为哪些曲面？

最近我发现可以用线性函数计算四元数的共轭，还能提取它的“高部”和“低部”复分量，这让我好奇：四元数多项式的像能对应哪些曲面呢？

先介绍下我的背景：我是在一个数学兴趣小组里学习四元数的，还隐约知道一个历史小知识——大概一百年前现代线性代数兴起之前，四元数的应用可比现在广泛得多。

先明确几个定义：

• 仿射四元数函数：形如 $q \mapsto a + bqc$ 的函数，其中 $a, b, c$ 都是四元数。
• 四元数多项式：由仿射四元数函数生成的函数环，这里的乘法是逐点乘法，不是函数复合哦。

首先有个计算四元数共轭的线性公式：
$$ -2q^* = q + iqi + jqj + kqk $$
验证一下的话，假设 $q = a + bi + cj + dk$，分别计算各项：
$$ iqi = -a - bi + cj + dk \
jqj = -a + bi - cj + dk \
kqk = -a + bi + cj - dk $$
把这些加起来再加上$q$，就能得到 $-2q^*$，公式就成立了。

另外，还有线性公式可以提取四元数的不同部分：

• 提取“低部”（也就是 $a+bi$ 部分）：
  $$ 2(a+bi) = 2L(q) = q - iqi $$
• 提取“高部”（$cj+dk$ 部分）：
  $$ 2(cj+dk) = 2H(q) = q + iqi $$

而四元数的实部可以表示为：$\Re(q) = \frac{1}{2}(q + q^*)$。

既然这些函数都是多项式（甚至是线性的），那我们显然可以构造出不同维度的子空间曲面：

• 直线：比如 $q \mapsto u\Re(q)v$（$u、v$ 为四元数）
• 平面：比如 $q \mapsto uL(q)v$
• 3维超平面：比如 $q \mapsto u(\Re(q) + H(q))v$

不过我实在很难在 $\mathbb{R}^4$ 空间里直观想象像 $q \mapsto qaq$（$a$ 是某个四元数）这样的函数到底在做什么。不过我试了几个具体的例子，把这些子空间操作和四元数函数复合起来看：

• 比如 $q \mapsto q^2$，它的像是一个平面，参数化方式很有意思——毕竟复数的 $z^2$ 是满射函数，这里的情况有点类似。
• 再比如 $q \mapsto qjq$，如果只看低部 $a+bi$ 输入的话，它会映射成 $(a^2+b2)j$，也就是一条射线，这个结果还挺有意思的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Greg Nisbet