含可变标量的矩阵逆求解及影响分析技术问询

问题明确 #

我想搞明白：当标量$x$变动时，$N \times N$矩阵$(A + xB)^{{-1}$会发生怎样的变化？已知$A$和$B$都是可逆矩阵——$A}{-1}$和$B^{-1}$我都已经提前算好了。

补充背景（我的实际需求） #

我正在嵌入式系统上实现一套控制算法，这里的$x$其实是轨迹规划里用到的时间步长变化量$\Delta t$。为了节省计算时间，我本来打算预计算相关矩阵，但又希望能通过调整$\Delta t$来改变预测时域。另外得提一句：$x$通常是小于1的，但矩阵$B$的规模可能会比这个值大。

实用解法与分析 #

针对你这种需要高效应对标量变化、还要适配嵌入式资源限制的场景，有两个非常实用的方法，都能利用你已经预计算好的$A^{-1}$，避免每次都重新求逆（嵌入式里矩阵求逆可是个计算量大户，能省则省）：

方法1：小$x$场景优先用扰动展开 #

如果$x$确实很小（你的场景里$x<1$，而且只要$xB A^{-1}$的谱范数小于1），可以把$(A + xB)^{-1}$展开成幂级数：
$$(A + xB)^{-1} = A^{-1} - xA^{-1}BA{-1} + x^2A{-1}BA^{-1}BA{-1} - x^3A{-1}BA^{-1}BA{-1}BA^{-1} + \dots$$
这个方法的优势是计算量极小，尤其是当$x$远小于$1/|A^{-1}B|$时，取前2-3项就能达到足够的精度，完全满足嵌入式系统的实时性要求。不过要注意，如果$xB A^{-1}$的范数接近或大于1，这个级数会发散，那就不能用这个方法了。

方法2：通用场景用Sherman-Morrison-Woodbury公式 #

不管$x$大小如何，只要$(A + xB)$可逆，都可以用这个公式：
$$(A + xB)^{-1} = A^{-1} - xA^{-1}B(I + xA^{-1}B){-1}A^{-1}$$
这里的关键是，你可以提前预计算并存储$A^{-1}B$这个矩阵，每次调整$x$时，只需要计算$I + x(A^{-1}B)$，再求这个矩阵的逆，最后代入公式计算。对比每次重新构造$A+xB$再求逆，这种方式能节省不少重复计算的时间，尤其是当你需要频繁调整$x$的时候。

针对你嵌入式场景的额外建议 #

考虑到嵌入式系统计算资源有限，给你几个小tips：

• 先评估$x$的实际取值范围，如果$x$普遍很小，优先用扰动展开的前几项，速度最快；
• 提前把$A^{-1}$和$A{-1}B$这两个矩阵预计算好存在内存里，每次调整$x$时只需要做简单的矩阵乘法和加法，避免重复计算固定项；
• 如果$B$规模大但$x$很小，扰动展开的收敛速度会更快，反而更适配；如果偶尔需要用到接近1的$x$，再切换到Sherman-Morrison-Woodbury公式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joseph Kenkel