求证：若P(A|C)>P(B|C)且P(A|C^c)>P(B|C^c)，则P(A)>P(B)

嘿，我来给你拆解这个问题的思路，你不用一开始就钻贝叶斯公式的牛角尖，全概率公式才是这里的关键突破口！

首先，咱们先回忆全概率公式的基本形式：对于任意事件A，它的总概率可以拆分成在C发生和不发生两种情况下的概率加权和，也就是：
P(A) = P(A|C)P(C) + P(A|C^c)P(C^c)
同理，事件B的总概率也可以写成：
P(B) = P(B|C)P(C) + P(B|C^c)P(C^c)

接下来咱们直接计算P(A)和P(B)的差值，把上面两个式子代入进去：

P(A) - P(B) = [P(A|C) - P(B|C)]P(C) + [P(A|C^c) - P(B|C^c)]P(C^c)

现在结合题目给的条件来看：

• 因为P(A|C) > P(B|C)，所以第一个方括号里的结果是正数；
• 因为P(A|C^c) > P(B|C^c)，所以第二个方括号里的结果也是正数；
• 而P(C)和P(C^c)都是概率值，满足0 ≤ P(C) ≤ 1，P(C^c) = 1 - P(C)，所以这两个系数都是非负的，而且不可能同时为0（毕竟C和它的对立事件C^c总有一个会发生）。

正数乘以非负数再相加，结果肯定是正数，也就是P(A) - P(B) > 0，自然就能推出P(A) > P(B)了。

其实这个结论完全符合直觉：不管C发生还是不发生，A出现的概率都比B高，那从整体概率来看，A的可能性肯定也更大，不存在反例，你的初始感觉是对的～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aidan