关于《双曲流形基础》中洛伦兹矩阵习题3.1的矛盾疑问求助

各位好！我在研读《双曲流形基础》（Foundations of Hyperbolic Manifolds）里的习题3.1时，被第3题和第4题推导出来的矛盾点卡住了，实在想不通哪里出了问题，希望有懂相关内容的朋友能帮我梳理一下！下面我把题目、我的困惑以及书中的术语定义都列出来：

习题内容 #

Q3：设$A = (a_{ij})$是$O(1, n − 1)$中的矩阵，证明A是正（负）矩阵当且仅当$a_{11} > 0$（$a_{11} < 0$）。

Q4：设$A = (a_{ij})$是$O^{+}(1, n − 1)$中的矩阵，证明$a_{11} ≥ 1$，且等号成立当且仅当A是正交矩阵。

我的矛盾困惑 #

根据Q3的结论，如果$O(1, n − 1)$里存在一个矩阵A满足$a_{11}=1/2$，那它应该属于正矩阵，也就是属于$O^{+}(1, n − 1)$。但Q4又说$O^{+}(1, n − 1)$中的矩阵必须满足$a_{11} ≥ 1$，这就明显矛盾了。我肯定是对某个概念或者题目的条件理解错了，麻烦大家帮我指出问题所在！

书中术语补充 #

为了方便不熟悉这本书的朋友理解，我把相关的符号和术语定义整理如下：

• $O(1, n − 1)$：所有n阶洛伦兹矩阵的集合。
• 正/负洛伦兹矩阵：一个洛伦兹矩阵A被称为正（负）矩阵，当且仅当它将正类时向量映射为正（负）类时向量。
• $O^{+}(1, n − 1)$：$O(1, n − 1)$中所有正矩阵的集合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Martin W