求特定规则锦标赛各轮次胜负记录分布的显式公式（含T队通用场景）

我现在需要解决的核心问题是：找到一个显式数学公式，描述符合特定配对规则的锦标赛中，每一轮各胜负记录对应的球队数量分布——先以10队的例子具象化规则，再扩展到任意偶数T队的通用场景。

锦标赛规则详解 #

初始状态：所有T队的胜负记录都是0-0。每一轮的配对与胜负判定规则如下：

1. 优先将相同胜负记录的球队配对对战；
2. 若某一胜负记录对应的球队数为奇数，则该记录的多余球队，与相邻胜负记录的多余球队配对；
3. 跨胜负记录配对时，胜率更高的球队必定获胜（后续称此为「overdog规则」）。

以10队为例：

• 第1轮结束：5队0-1，5队1-0；
• 第2轮：4个0-1队内部配对，4个1-0队内部配对，剩下1个0-1队和1个1-0队配对（高胜率队赢），最终得到3队0-2、4队1-1、3队2-0。

已尝试的思路与现有进展 #

1. 局部公式与计算工具 #

• 我已经写出了Python代码，可以计算任意T队、任意轮次r的分布，但想要纯数学的显式表达式；
• 用ceil/floor函数推导了前4轮的显式公式，但超过第4轮后公式就失效了；
• 找到了长期行为的周期公式：当轮次足够多（约T²轮后），分布会进入2轮循环的稳定状态，根据T mod8分为4种情况：
  • Case1（T≡0 mod8）：循环序列为1444...444...441、3444...4444....443
  • Case2（T≡2 mod8）：循环序列为3444...424...443、1444...4334....441
  • Case3（T≡4 mod8）：循环序列为3444...444...443、1444...4444....441
  • Case4（T≡6 mod8）：循环序列为1444...424...441、3444...4334....443
    注：序列首尾的1000...和...0001省略，零的数量可通过T直接计算，4的数量同理。

2. 生成函数尝试 #

以T=10为例，我定义了各轮的生成函数：

• 第0轮：$f_0(x,y) = y^0 + y^1 + y^2 + ... + y^9$
• 第1轮：$f_1(x,y) = y^0 + y^1 + y^2 + y^3 + y^ 4 + (y^5 + y^6 + y^7 + y^8 + y^9)x$
• 第2轮：$f_2(x,y) = y^0 + y^1 + y^2 + (y^3 + y^4 + y^5 + y^6)x + (y^7 + y^8 + y^9)x2$

尝试推导$f_k$到$f_{k+1}$的转换规则时，找到了一个近似方法：

\frac{f_2(x,y) + f_2(x,-y)}{2} = y^0 + y^2 + (y^4 + y^6)x + (y^8)x^2

\frac{f_2(x,y) - f_2(x,-y)}{2} \cdot x = y^1 x + (y^3 + y^5) x^2 + (y^7 + y^9) x^3

\widetilde{f}_3(x,y) = \frac{f_2(x,y) + f_2(x,-y)}{2} + \frac{f_2(x,y) - f_2(x,-y)}{2} \cdot x

代入y=1后能得到第3轮的正确分布2,3,3,2，但生成函数中的y项指数顺序混乱，无法重复迭代这个过程。

3. 概率与不变量方法 #

首先明确了三个关键不变量：

• 球队总数T始终不变；
• 每一轮的总胜场数固定为$Tr/2$；
• 胜负记录分布关于$r/2$对称。

基于这些不变量缩小候选解范围后，我尝试选取最接近二项分布的解（用欧氏距离作为相似性度量），但发现随着轮次增加，分布会逐渐偏离二项分布，这个度量的效果并不好。

4. 变体规则与递归拆分关系 #

我引入了「underdog规则」作为变体：跨胜负记录配对时，胜率更低的球队必定获胜。定义：

• $O(T)$：overdog规则下T队的分布序列，$O_{r,w}(T)$表示第r轮时w胜的球队数；
• $U(T)$：underdog规则下T队的分布序列，$U_{r,w}(T)$同理。

经过修正后，发现了以下递归拆分关系：

• $O(4k + 2) = U(4k) + O(2)$
• $U(4k + 2) = U(4k) + U(2)$
• $O(4k + 4) = U(4k) + U(2) + O(2)$

这把问题简化到了求$U(4k)$的分布，算是阶段性的进展。

附：T=10时的前几轮分布序列 #

10
5, 5
3, 4, 3
2, 3, 3, 2
1, 3, 2, 3, 1
1, 1, 3, 3, 1, 1
1, 0, 3, 2, 3, 0, 1
1, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 1
1, 0, 0, 3, 2, 3, 0, 0, 1
1, 0, 0, 1, 3, 3, 1, 0, 0, 1
...

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jackson