不使用Fubini定理时，一般开/闭集上连续函数图像的勒贝格测度是否为零的证明问询

我最近在尝试不借助Fubini定理来证明或证伪以下命题：

设 $f:A\to\mathbb{R}^m$ 是连续函数，其中定义域 $A\subseteq\mathbb{R}^k$ 是开集或闭集。那么函数图像 $\Gamma(f,A)={(x,f(x)):x\in A}$ 是否一定具有勒贝格测度 $0$（从而是勒贝格可测的）？

但我目前没有成功。我知道矩形域（即形如 $A=\prod_{j=1}^k [a_j,b_j]$ 的集合）的情况在站内已经被多次讨论，我也掌握了这个特殊情况的证明方法，但没办法把它推广到更一般的开/闭集情形——如果这个命题确实成立的话。

我知道$\mathbb{R}^n$中的每个开/闭集都可以表示为可数个紧集的并，所以只要能证明紧集上的情况就足够了。紧集上的连续函数是一致连续的，这一点似乎很有帮助，但紧集不一定能表示为可数个矩形的并（比如康托集），所以矩形情形的证明思路没法直接套用。

我不确定是否存在反例，直觉上觉得可能没有，但也不敢完全肯定。另外，我已经尽可能搜索过站内内容了，没找到相关的讨论，所以如果这个问题已经被问过，还请见谅。

另外我想说明：我不认为可以先证明 $A=\mathbb{R}^k$ 时的情况（这个情况相当简单），再通过限制定义域直接得到一般情形的结论。因为不是所有定义在$A$上的连续函数 $f\in C(A,\mathbb{R}^m)$ 都能延拓为定义在$\mathbb{R}^k$上的连续函数，比如：

• $f:\mathbb{R}\setminus{0}\to\mathbb{R}$，定义为 $f(x)=\frac{1}{x}$，这个函数连续但无法连续延拓到整个$\mathbb{R}$
• 更极端的例子，$f:\mathbb{R}\setminus\left(\frac{\pi}{2}+\pi\mathbb{Z}\right)\to\mathbb{R}$，定义为 $f(x)=\tan(x)$，同样无法进行连续延拓

非常感谢任何形式的帮助！🙂

备注：内容来源于stack exchange，提问作者K. Makabre