关于乘积可测空间上非乘积测度的积分概念、符号含义与形式化操作的技术问询

我正在尝试理解定义在乘积σ-代数上、但不一定是乘积测度的测度相关积分。我知道可以像对待其他测度一样对这类测度进行积分，但直觉上觉得应该有一种“分别对每个变量积分”的思路（而且希望能证明结果一致）。这个问题就是想搞清楚这种概念是否真的存在，以及具体细节。

设$(X,\Sigma_X)$和$(Y,\Sigma_Y)$是可测空间，考虑乘积可测空间$X\otimes Y = (X\times Y, \Sigma_X\otimes \Sigma_Y)$，其中$\Sigma_X\otimes \Sigma_Y$是乘积σ-代数。

令$\nu$为$X\otimes Y$上的测度（比如概率测度），$f\colon X\times Y\to \mathbb{R}$是可测函数（比如有界函数）。

现在我想对$\nu$积分$f$。一种方式是把$X\otimes Y$当作普通可测空间，对其所有可测子集积分，可以写成：
$$
\int_{(x,y)\in X\otimes Y} f(x,y),\nu(d(x,y)),
$$
这里有点别扭的$d(x,y)$是用来表示我们对$X\otimes Y$的任意可测子集积分。

不过我觉得更自然的写法应该是：
$$
\int_{x\in X, y\in Y} f(x,y) ,\nu(dx\times dy),
$$
我之前也见过类似的写法。

这种符号暗示我们不是对$X\otimes Y$的所有可测子集积分，而只是对形如$S\times T$（其中$S\in\Sigma_X$，$T\in\Sigma_Y$）的子集积分。直觉上这应该是可行的（也许和卡拉泰奥多里延拓定理有关？），但我完全不确定细节。

所以我的核心问题是：如何正确理解在乘积可测空间上对非乘积测度的积分？ $\nu(dx\times dy)$这种写法到底是什么意思？更重要的是，如何对这类积分进行形式化操作？

也欢迎推荐相关的参考资料，当然直接的解释更好。

编辑：我觉得之前的问题不够精确。下面的内容可能更能表达我想搞清楚的点：

假设函数$f$具有形式$f(x,y) = g(x)h(y)$，其中$g$和$h$都是有界的。直觉上我觉得可以把它拆成二重积分：
$$
\int_{x\in X}g(x)\int_{y\in Y}h(y),\nu(dx\times dy).
$$
注意这不是富比尼定理的应用，因为$\nu$不是乘积测度。

它的含义是这样的：如果$S\in\Sigma_X$是$X$的某个固定可测子集，那么$\nu(S\times \cdot)$是$Y$上的一个测度（如果$\nu$是概率测度，那它就是子概率测度）。对于固定的$x\in X$，
$$
\int_{y\in Y} h(y),\nu(S\times dy)
$$
表示这个子概率测度对函数$h\colon Y\to\mathbb{R}$的积分。

我不确定，但我觉得如果把这个结果看作$S$的函数，它会构成$X$上的一个测度（这次是有限测度，不一定是子概率测度）。当$h(y)$是某个$T\in\Sigma_Y$的指示函数时，它显然是测度，我猜测一般情况也是如此。

那么上面的二重积分就是指这个测度对可测函数$g\colon X\to\mathbb{R}$的积分。

我猜想：
$$
\int_{(x,y)\in X\otimes Y} g(x)h(y) ,\nu(d(x,y)) = \int_{x\in X}g(x)\int_{y\in Y}h(y),\nu(dx\times dy),
$$
其中右边按照我刚才描述的方式解读。

如果这个猜想正确，那说明$dx\times dy$的符号确实“有意义”，而不只是表示对$X\otimes Y$积分的符号。

作为补充问题，我想知道这个猜想是否正确，但我的核心问题仍然是：是否可以一般地从“对矩形积分”的角度来思考这类积分？如果可以，如何正确推理？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者N. Virgo