关于支撑在有限点集上的除子正合序列的核判定及合理性问询

你提的这个问题真的说到点子上了——我当初第一次啃这部分内容的时候，也对着这个正合序列犯嘀咕，完全理解你的疑惑！咱们一步步把这个问题拆明白：

首先先把背景再理清楚，避免歧义：
我们有一个数域$k$上的光滑射影几何整曲线$C$，$D$是$C$上的有限闭点集，$X$是$C$去掉$D$得到的仿射曲线，$\bar{X}$是$X$到$k$的代数闭包$\bar{k}$的基变换。文献里经常出现这样的正合序列：
$$1 \rightarrow \bar{k}^* \rightarrow \bar{k}[X]^* \rightarrow \mathrm{Div}{\bar{D}}(\bar{C})$$
其中最后那个映射，是把$\bar{k}[X]^*$里的正则函数$f$，映到它在$\bar{D}$上的除子：
$$f \mapsto \sum{P \in \bar{D}}\mathrm{ord}_P(f) \cdot P$$

你的核心疑问非常关键：为什么这个映射的核恰好是$\bar{k}^*$？难道不存在那种在$\bar{D}$上既无零点也无极点，但又不是常数的可逆正则函数吗？

这就要用到代数曲线里一个非常基础但核心的结论：**代数闭域上的光滑射影曲线，它的全局正则函数（也就是$\bar{k}[\bar{C}]^{*$里的元素）只能是常数**。这是射影概形的基本性质——射影概形的整体截面环是一个域，这里就是$\bar{k}$，所以全局可逆正则函数就是$\bar{k}$里的非零元，也就是$\bar{k}}*$。

那$\bar{k}[X]^$是什么？它是仿射曲线$\bar{X}$上的可逆正则函数，换句话说，就是$\bar{C}$上那些在$\bar{D}$之外的所有点都没有零点和极点的有理函数。现在假设$f$是这个除子映射的核，意味着$f$在每个$P \in \bar{D}$处的阶$\mathrm{ord}_P(f)=0$——这就说明$f$在$\bar{C}$的所有点上都没有零点和极点，那它自然就是$\bar{C}$上的全局可逆正则函数，根据刚才的结论，它只能是$\bar{k}^$里的常数。

反过来，常数函数在任何点的阶都是0，显然会被映到零除子，所以这个映射的核确实恰好是$\bar{k}^*$——这部分的合理性就补全了。

然后你还提到，主除子的次数一定是0，所以原序列的最后一项可以换成$\mathrm{Div}^0_{\bar{D}}(\bar{C})$（支撑在$\bar{D}$上的次数0除子），得到：
$$1 \rightarrow \bar{k}^* \rightarrow \bar{k}[X]^* \rightarrow \mathrm{Div}^0_{\bar{D}}(\bar{C})$$
这个修正非常准确，因为原映射的像里的除子都是主除子，必然次数为0，所以把目标限制在次数0的除子群里更合理。

不过这里还要补充一点：这个序列的右边正合性是有前提的。如果曲线$\bar{C}$是有理曲线（比如$\mathbb{P}^1$），那任何次数0的除子都是主除子，这时候这个映射就是满射，序列就是短正合序列；但如果是一般的曲线（比如椭圆曲线），存在次数0的除子不是主除子，这时候映射就不是满射，序列只是左边正合——这也是很多文献里没说清楚的地方，可能默认是在有理曲线的语境下讨论的。

最后再给你梳理一遍核心逻辑：

• 核为$\bar{k}^*$的本质原因：射影曲线的全局正则函数必为常数，核中的函数是在整个射影曲线上无零点极点的有理函数，只能是常数；
• 原序列的合理性：左边正合是确定的，修正后的目标群（次数0除子群）更贴合映射的像；
• 右边正合性需要额外条件（比如曲线是有理曲线），这也是文献里没明确说明的细节。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者oleout