已知顶点与两条角平分线，求三角形BC边的方程

嘿，我来帮你一步步拆解这个问题！先把已知条件捋清楚：我们有三角形ABC，顶点A的坐标是(1,2)，两条内角平分线分别是x+2=0（也就是直线x=-2）和y=x+5。首先可以确认一点：A点不在这两条角平分线上（代入验证就知道啦），所以这两条角平分线分别属于顶点B和C。

解决这个问题的核心思路是利用角平分线的对称性质：一个点关于角平分线的对称点，必然落在该角的另一条边上。对于顶点A来说，它关于B的角平分线的对称点会在BC边上，同理，A关于C的角平分线的对称点也会在BC边上——这样只要找到这两个对称点，两点确定一条直线，就是BC的方程了！

第一步：求A关于直线x=-2的对称点A₁ #

直线x=-2是垂直于x轴的直线，计算对称点很直观：

• A点横坐标到x=-2的距离是1 - (-2) = 3，所以对称点的横坐标是-2 - 3 = -5
• 纵坐标和A点保持一致，还是2
  所以A₁的坐标是(-5, 2)

第二步：求A关于直线y=x+5的对称点A₂ #

设A₂的坐标为(m, n)，根据对称点的两个核心性质列方程：

1. AA₂的中点在角平分线上：中点坐标是((1+m)/2, (2+n)/2)，代入y=x+5得：

   (2+n)/2 = (1+m)/2 + 5
   

   化简后得到：n = m + 9 ---①
2. AA₂与角平分线垂直：角平分线的斜率是1，所以AA₂的斜率为-1（垂直直线斜率乘积为-1），即：

   (n - 2)/(m - 1) = -1
   

   化简后得到：n = -m + 3 ---②

联立①②求解：
把①代入②，得m + 9 = -m + 3，解得m = -3，再代入②得n = 6，所以A₂的坐标是(-3, 6)

第三步：求BC边的直线方程 #

现在A₁(-5,2)和A₂(-3,6)都在BC边上，先算直线的斜率：

k = (6 - 2)/(-3 - (-5)) = 4/2 = 2

用点斜式（比如用A₁点）写出方程：

y - 2 = 2(x + 5)

整理成标准形式就是：2x - y + 12 = 0（或者写成y = 2x + 12）

你可以自己验证一下这个结果：不管B在x=-2上还是C在y=x+5上，这条直线都符合角平分线的对称性质，完全没问题~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者robin_h