递增函数对应的积分商在x→1⁺时的极限证明问询

我最近在处理这么一个问题时遇到了困惑，想请教大家：

设函数 $f:[1,\infty)\to\mathbb{R}$ 是递增函数，定义 $F(x)=\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{f(t)}{t}, dt$，计算极限：
$$\lim\limits_{x\to 1^{+}} \dfrac{F(x)}{\ln(x)}=\lim\limits_{x\to 1^{+}} \dfrac{\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{f(t)}{t}, dt}{\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{1}{t}, dt}$$

首先我分析了极限的类型：当 $x\to1^+$ 时，分子分母都趋近于0，属于 $\frac{0}{0}$ 型，但直接用洛必达法则行不通——因为我们不确定 $F(x)$ 是否可导（毕竟$f$只是递增函数，不一定连续，积分上限函数的可导性在这里没法直接套用常规结论）。

于是我尝试了几个具体的函数例子来验证：

• 当 $f(x)=x$ 时，计算得极限为 $\lim\limits_{x\to 1^{{+}}\dfrac{\displaystyle\int_{1}}{x}\dfrac{1}{t}, dt}{\ln(x)}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\dfrac{\ln(x)}{\ln(x)}=1$，而 $f(1)=1$，结果刚好匹配；
• 当 $f(x)=nx$（$n>0$）时，极限是 $\lim\limits_{x\to 1^{+}} \dfrac{\displaystyle\int_{1}^{x}\dfrac{nt}{t}, dt}{\ln(x)}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\dfrac{n(x-1)}{\ln(x)}$，这里用洛必达法则可以得到 $\lim\limits_{x\to 1^{+}}\dfrac{n}{\frac{1}{x}}=n$，而 $n=f(1)$，同样符合预期。

基于这些例子，我猜想这个极限的结果应该是 $f(1)$，也就是：
$$\lim\limits_{x\to 1^{+}}\dfrac{F(x)}{\ln(x)}=f(1)$$

不过我现在不知道怎么严谨地证明这个结论，有没有大佬能给点提示或者完整的证明思路呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Carlos Jiménez