关于Vakil《Rising Sea》2022版习题4.1.A的证明思路验证与疑问

嘿，你的整体思路完全正确，这就是证明这个同构的核心路径！我来帮你理清那个疑问点，再把整个证明逻辑串得更顺一点～

首先，先明确几个关键对应关系（你已经用到了，但再强化一下）：

• 集合$S = { g \in A \mid D(f) \subseteq D(g) }$，根据习题3.5.E的等价性，这等价于存在正整数n，使得$f^n \in \langle g \rangle$，同时也等价于g在$A_f$中可逆。

你的核心疑问解答：局部化$A_S$中所有$f$的幂都可逆吗？ #

当然是！而且理由很直接：
$f$本身就属于$S$啊——因为$D(f) \subseteq D(f)$是显然成立的，所以$f \in S$。而局部化的定义就是让$S$中的所有元素都成为可逆元，所以$f$在$A_S$里是可逆的。

那$f$的任意幂$f^k$（$k \geq 1$）呢？可逆元的乘积还是可逆元，所以$f^2 = f \cdot f$、$f^3 = f^2 \cdot f$……所有$f$的幂在$A_S$里自然都是可逆的。完全不用通过其他$g$来间接推导，这一步是直接成立的～

再把完整的同构证明逻辑理一遍，呼应你的思路： #

我们要证明自然映射$\iota: A_f \to \mathcal{O}_{\text{Spec}(A)}(D(f)) = A_S$是同构，只需要证明它是单射且满射：

1. 单射性：
   假设在$A_S$中$\iota(x/f^m) = \iota(y/f^{n)$，也就是$x/f}m = y/f^n$。根据局部化的定义，存在$s \in S$使得$s(f^n x - f^m y) = 0$。
   因为$s \in S$，根据3.5.E，存在正整数k使得$f^k = t s$（$t \in A$）。把这个代入上式，得到$f^k(fn x - f^m y) = 0$，也就是$f^{k+n}x = f^{k+m}y$。
   这在$A_f$里就意味着$x/f^m = y/f^n$，所以$\iota$是单射。

2. 满射性：
   任取$A_S$中的元素$x/g$（$x \in A, g \in S$）。根据3.5.E，$g$在$A_f$中可逆，也就是存在$h \in A$、正整数k使得$g h = f^k$。
   那么$x/g = x h / f^k$，而$x h / f^k$正是$A_f$中的元素，且$\iota(x h / f^k) = x/g$，所以$\iota$是满射。

这样单射+满射就证明了$\iota$是同构，和你的思路完全契合，只是把疑问点的逻辑补得更清晰了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ignacio Rojas