关于存在自然数k使得对任意素数p都存在p^k阶非阿贝尔群的技术问询

嘿，这个问题问得相当到位！直接给你结论：k=3就是满足条件的自然数——对任意素数p，都存在p³阶的非阿贝尔群。

具体的构造思路是这样的：

• 我们可以构造一个非平凡的半直积：(ℤ/p²ℤ) ⋊ (ℤ/pℤ)
• 这个半直积能成为非阿贝尔群的核心原因，在于Aut(ℤ/p²ℤ)（也就是循环群ℤ/p²ℤ的自同构群）里存在p阶元素。这里要纠正个容易犯的小错误：循环群ℤ/nℤ的自同构群的阶是欧拉函数φ(n)，对于n=p²来说，φ(p²)=p(p-1)，这个数值显然能被p整除。根据柯西定理，这个自同构群里必然存在p阶的元素，我们就用这个元素来定义半直积的群作用，最终得到的群就是非阿贝尔的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者I.A.S. Tambe