射影簇乘积与射影-仿射簇乘积的闭集刻画证明问题

嗨，这个问题本质上是代数几何里抽象拓扑定义的乘积簇和经典坐标下的多项式零点集之间的衔接问题，我来一步步给你拆解清楚～

一、证明$\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$的闭集是双齐次多项式的零点集 #

首先回忆咱们的前提：乘积簇的拓扑是“局部闭则全局闭”——一个子集$C \subset \mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^{m$是闭集，当且仅当对$\mathbb{P}}n$的所有标准仿射开集$U_i$（$U_i = {x_i \neq 0} \cong \mathbb{A}^{n$）和$\mathbb{P}}m$的所有标准仿射开集$V_j$（$V_j = {y_j \neq 0} \cong \mathbb{A}^m$），$C \cap (U_i \times V_j)$是$U_i \times V_j \cong \mathbb{A}^{n+m}$里的闭集（也就是普通多项式的零点集）。

步骤1：局部多项式的“双齐次化” #

在$U_i \times V_j$中，我们取局部坐标：

• $\mathbb{P}^n$侧：$a_k = \frac{x_k}{x_i}$（$k=0,\dots,n$，其中$a_i=1$）
• $\mathbb{P}^m$侧：$b_l = \frac{y_l}{y_j}$（$l=0,\dots,m$，其中$b_j=1$）

闭集$C \cap (U_i \times V_j)$对应某个多项式$f_{ij}(a_0,\dots,a_n,b_0,\dots,b_m)=0$。现在我们把这个局部多项式转化为全局的双齐次形式：
给$f_{ij}$乘以$x_i^d y_j^e$，其中$d$是$f_{ij}$关于$a$变量的次数，$e$是关于$b$变量的次数。这样得到的多项式：
$$F_{ij}(x_0,\dots,x_n,y_0,\dots,y_m) = x_i^d y_j^e \cdot f_{ij}\left(\frac{x_0}{x_i},\dots,\frac{x_n}{x_i},\frac{y_0}{y_j},\dots,\frac{y_m}{y_j}\right)$$
是双齐次多项式——满足$F_{ij}(\lambda x, \mu y) = \lambda^d \mu^e F_{ij}(x,y)$对任意$\lambda,\mu \neq 0$成立。

步骤2：局部多项式的相容性验证 #

考虑重叠开集$U_i \times V_j$和$U_k \times V_j$（即$x_i,x_k \neq 0, y_j \neq 0$），坐标变换为$a't = \frac{x_t}{x_k} = \frac{a_t}{a_k}$（$a_k = \frac{x_k}{x_i} \neq 0$）。此时$f{ij}(a,b)=0$等价于$f_{ij}\left(\frac{a'}{a_k}, b\right)=0$，两边乘以$a_k^{d$就得到$a_k}d f_{ij}\left(\frac{a'}{a_k}, b\right)=f_{ij}(a',b)=0$，这和$U_k \times V_j$里的局部多项式$f_{kj}(a',b)=0$的零点集完全一致（因为$a_k \neq 0$，不影响零点）。这说明不同局部的双齐次化多项式在重叠区域的零点集是相容的。

步骤3：双向等价性 #

• 正向：任意闭集$C$，通过上述局部多项式的双齐次化，能得到全局的双齐次多项式族，它们的公共零点集就是$C$。
• 反向：任意双齐次多项式$F(x,y)$的零点集，在每个$U_i \times V_j$中对应$\frac{F(x,y)}{x_i^d y_j^e}=0$，这是$U_i \times V_j$里的闭集，因此根据乘积拓扑的定义，全局零点集是闭集。

二、证明$\mathbb{P}^n \times \mathbb{A}^m$的闭集是关于前$n$个变量齐次的多项式零点集 #

同样用乘积拓扑的定义：$C \subset \mathbb{P}^n \times \mathbb{A}^{m$是闭集当且仅当对每个$\mathbb{P}}n$的标准仿射开集$U_i$，$C \cap (U_i \times \mathbb{A}^m)$是$U_i \times \mathbb{A}^m \cong \mathbb{A}^{n+m}$里的闭集。

步骤1：局部多项式的“齐次化” #

在$U_i \times \mathbb{A}^m$中，局部坐标是：

• $\mathbb{P}^n$侧：$a_k = \frac{x_k}{x_i}$（$k=0,\dots,n$，$a_i=1$）
• $\mathbb{A}^m$侧：$z_1,\dots,z_m$（仿射坐标，无需齐次化）

闭集$C \cap (U_i \times \mathbb{A}^{m)$对应多项式$f_i(a_0,\dots,a_n,z_1,\dots,z_m)=0$。我们给$f_i$乘以$x_i}d$（$d$是$f_i$关于$a$变量的次数），得到全局多项式：
$$F(x_0,\dots,x_n,z_1,\dots,z_m) = x_i^d \cdot f_i\left(\frac{x_0}{x_i},\dots,\frac{x_n}{x_i},z_1,\dots,z_m\right)$$
这个$F$是关于$x$变量齐次的——满足$F(\lambda x, z) = \lambda^d F(x,z)$对任意$\lambda \neq 0$成立。

步骤2：局部多项式的相容性验证 #

考虑重叠开集$U_i \times \mathbb{A}^m$和$U_k \times \mathbb{A}^m$（$x_i,x_k \neq 0$），坐标变换为$a'_t = \frac{x_t}{x_k} = \frac{a_t}{a_k}$。此时$f_i(a,z)=0$等价于$f_i\left(\frac{a'}{a_k},z\right)=0$，乘以$a_k^{d$后得到$a_k}d f_i\left(\frac{a'}{a_k},z\right)=f_i(a',z)=0$，和$U_k \times \mathbb{A}^m$里的$f_k(a',z)=0$零点集一致（$a_k \neq 0$不影响零点）。

步骤3：双向等价性 #

• 正向：任意闭集$C$，通过局部多项式的齐次化，得到关于$x$变量齐次的全局多项式族，公共零点集就是$C$。
• 反向：任意关于$x$变量齐次的多项式$F(x,z)$，在$U_i \times \mathbb{A}^{m$中对应$\frac{F(x,z)}{x_i}d}=0$，这是局部闭集，因此全局零点集是闭集。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user34977