关于线性代数中生成集/基相关定理T₀直接推导定理T₁的疑问

嘿，我来帮你理清楚这个逻辑，其实这是个典型的反证法应用，咱们一步步拆解，就能明白为什么这是定理T₀的直接推论：

首先先明确已知的核心结论：

• 定理$T_0$：若$W$是$\mathbb{R}^n$的子空间，且存在含$p$个向量的生成集$B={v_1,...,v_p}$，那么$W$中任何含$p+1$个及以上向量的集合都是线性相关的。
• 从已知推论我们还知道：$W$的任意基都恰好包含$p$个向量（基是线性无关的生成集）。

接下来用反证法证明定理$T_1$：任何少于$p$个向量的集合都无法生成$W$

假设$T_1$不成立——也就是存在一个集合$S$，满足$|S|=k < p$，且$S$能生成$W$。

现在我们取$W$的一个基$B$（含$p$个向量，线性无关）。因为$S$生成$W$，所以$B$中的每一个向量都可以被$S$线性表示。这时候我们结合$T_0$的逻辑来推导矛盾：
根据$T_0$，$W$中不可能存在大小超过$p$的线性无关集。但反过来想，$T_0$的逆否命题其实是：如果$W$中存在一个线性无关集，那么它的大小不会超过$W$的任意生成集的大小。

而我们的基$B$是大小为$p$的线性无关集，但假设的生成集$S$大小只有$k < p$，这就和$T_0$的逆否命题矛盾了——因为线性无关集的大小$p$居然超过了生成集的大小$k$，这是$T_0$不允许的。

这个矛盾说明我们的假设不成立，也就是不存在大小少于$p$的生成集，等价于$T_1$的结论：任何少于$p$个向量的集合都无法生成$W$。

换个更直白的角度说：$T_0$告诉我们$W$里最多只能有$p$个线性无关的向量（也就是基的大小），而生成集的大小不可能比基的大小还小——如果生成集更小，那$W$里最多只能有和生成集一样多的线性无关向量，这就和基有$p$个向量矛盾了，而这个矛盾的根源就是$T_0$。

这样是不是就清晰多了？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vinod