关于复变函数中简单闭曲线积分结论的疑问

我最近在一本翻译版的《复分析导论》里看到一个结论，试着把它整理出来，同时也有个困惑想弄明白：

先给出定义：设$f$是定义在集合$D\subset\mathbb{C}$上的连续复值函数，并且存在函数$g$使得$g'=f$（也就是$g$的复导数等于$f$）。如果$\Gamma\subset D$是一条曲线，那么有：
$$\int_{\Gamma}f\left(z\right)dz=g\left(\gamma\left(b\right)\right)-g\left(\gamma\left(a\right)\right),$$
这里$\gamma$是$\Gamma$的参数化表示。特别地，如果$\Gamma$是简单闭曲线，那么：
$$\int_{\Gamma}f\left(z\right)dz=0.$$

书中给出的证明过程是这样的：
$$\int_{\Gamma}f\left(z\right)dz\dot{=}\int_{a}^{{b}f\left(\gamma\left(t\right)\right)\gamma'\left(t\right)dt=\int_{a}}{b}g'\left(\gamma\left(t\right)\right)\gamma'\left(t\right)dt=\int_{a}^{b}\left(g\left(\gamma\left(t\right)\right)\right)'dt=g\left(\gamma\left(b\right)\right)-g\left(\gamma\left(a\right)\right),$$
我猜这里用到了复积分的定义、链式法则，最后一步用了牛顿-莱布尼茨公式。如果$\Gamma$是闭曲线，那么$\gamma(a)=\gamma(b)$，所以积分结果就是$g(\gamma(b))-g(\gamma(a))=0$。

但这个“特别地”的结论让我感觉有点奇怪，我想到一个例子：取$\Gamma$为单位圆$C(0,1)$，计算积分
$$\int_{\Gamma}\frac{1}{z}dz=\int_{0}^{{1}\frac{1}{e}{2\pi it}}2\pi ie^{2\pi it}dt=2\pi i\neq0.$$

这时候我就困惑了——为什么这个例子不是反例呢？难道证明里哪里有问题？毕竟$C(0,1)$是简单闭曲线，$f(z)=\frac{1}{z}$在区域$D=\left{ z:z\in\mathbb{C},\frac{1}{2}<\left|z\right|<\frac{3}{2}\right}$上是连续的，而且$\Gamma\subset D$啊。

其实问题出在前提条件上：原结论要求存在$g$使得$g'=f$，也就是$f$在$D$上有一个全局的原函数。而$f(z)=\frac{1}{z}$在这个环形域$D$里是没有这样的原函数的——虽然我们知道$\log z$的导数是$\frac{1}{z}$，但$\log z$在包含单位圆的环形域里无法定义成一个单值、连续的函数，没法作为全局的原函数使用。所以这个例子并不满足原结论的前提，自然不能套用那个“简单闭曲线积分等于0”的结论啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kapes Mate