多项式曲线与直线围成区域内三角形面积和区域面积比值的上确界探究

最近在研究抛物线求积的问题时，我发现了一个有意思的点：在抛物线和直线围成的区域内画三角形，三角形面积与区域面积的最大比值是$\frac{3}{4}$。这让我不禁思考——如果把抛物线换成任意多项式曲线，这个比值的最大值或者上确界会是多少呢？

我的思路尝试 #

首先我做了一个合理假设：面积最大的三角形，其中一条边必然与围成区域的那条直线重合。毕竟如果三角形的边不与这条直线对齐，很难想象能达到面积的最大值。

为了简化问题，我还想到可以将直线标准化为$y=0$。理由很简单：如果某个多项式$y=f(x)$和直线$y=mx+c$围成的区域能达到这个上确界，那我们只需要构造新多项式$y=f(x)-(mx+c)$，让它与$y=0$围成区域，此时两个场景下的面积比值完全一致，这样的简化不会影响最终结果。

另外我猜想，当比值趋近或达到上确界时，围成区域的最左（或最右）端点应该是曲线的驻点。如果不是这样的话，我们似乎可以通过垂直平移水平线（让区域面积增大）来提高比值，这就和“上确界”的定义矛盾了，所以这个猜想应该是成立的。

实验与发现 #

我尝试了多种不同的多项式，目前找到的最大比值约为$0.8405$，对应的区域是由$y=-x^{2\left(x+\frac{2}{3}\right)}2(x-1)$与$y=0$在$x=0$到$x=1$区间内围成的。

我还尝试提高多项式的次数，但看起来并没有让比值进一步增大。另外针对三次多项式，我计算出的最大比值是$\frac{200}{243}\approx 0.8230$，比刚才提到的五次多项式的比值要小一些。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dan