关于利用二次互反律判断同余方程$x^2 \equiv 160 \mod 51$解的存在性咨询

嗨，我来帮你一步步拆解这个问题～ 首先你说得对，51不是质数（它是3和17的乘积），不过没关系，我们可以结合中国剩余定理和二次互反律来解决：原同余方程有解的充要条件是，它在模3和模17下的两个子同余方程同时有解。我们逐个分析：

• 第一步：处理模3的情况
  先把160化简模3：160 ÷ 3余1（因为3×53=159，160-159=1），所以问题转化为判断$x^2 \equiv 1 \mod 3$是否有解。
  很明显，1是模3的二次剩余——比如$1^2 \equiv 1 \mod 3$，$2^2=4 \equiv 1 \mod 3$，所以这个子方程有解。

• 第二步：处理模17的情况
  同样先化简160模17：17×9=153，160-153=7，所以我们需要判断7是不是模17的二次剩余，也就是计算勒让德符号$\left(\frac{7}{17}\right)$的值，这时候就用到二次互反律了。

  二次互反律的核心是：对于两个不同的奇质数p和q，$\left(\frac{p}{q}\right) = \left(\frac{q}{p}\right) \times (-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}}$。

  我们代入p=7，q=17：

  1. 先计算指数部分：$\frac{(7-1)(17-1)}{4} = \frac{6×16}{4} = 24$，24是偶数，所以$(-1)^{24}=1$，因此$\left(\frac{7}{17}\right) = \left(\frac{17}{7}\right)$。
  2. 化简$\left(\frac{17}{7}\right)$：17除以7余3，所以$\left(\frac{17}{7}\right) = \left(\frac{3}{7}\right)$。
  3. 对$\left(\frac{3}{7}\right)$再次应用二次互反律：p=3，q=7，指数部分$\frac{(3-1)(7-1)}{4} = \frac{2×6}{4}=3$，3是奇数，所以$(-1)^3=-1$，因此$\left(\frac{3}{7}\right) = -\left(\frac{7}{3}\right)$。
  4. 化简$\left(\frac{7}{3}\right)$：7除以3余1，所以$\left(\frac{7}{3}\right) = \left(\frac{1}{3}\right)=1$（因为1是任意质数的二次剩余）。
  5. 倒推回去：$\left(\frac{3}{7}\right)=-1$，$\left(\frac{17}{7}\right)=-1$，最终$\left(\frac{7}{17}\right)=-1$。

  勒让德符号为-1，说明7不是模17的二次剩余，也就意味着$x^2 \equiv 7 \mod 17$没有解。

• 结论
  因为模17的子方程无解，根据中国剩余定理，原同余方程$x^2 \equiv 160 \mod 51$没有解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user996159