平面中点的爆破、线性系与del Pezzo簇的嵌入问题
咱们先从你熟悉的经典场景聊起，再一步步拆解r=7、8的情况：
- 经典del Pezzo曲面（r≤6）：当你爆破$\mathbb{P}2$里r个一般位置的点得到曲面S时，反典范除子$-K_S$是*非常丰富*的，它给出的嵌入正好对应$\mathbb{P}2$中过这r个点的三次曲线线性系，最终把S嵌入到$\mathbb{P}^{9-r}$中。这个结论在Beauville或Hartshorne的教材里讲得很清楚，应该是你已经掌握的内容了。
现在的del Pezzo簇定义放宽了门槛——不再要求反典范除子必须非常丰富，只要它是丰富的就行（意思是它的某个倍数能给出嵌入），这样r=7、8的爆破曲面也被纳入del Pezzo的范畴。针对你的问题，分两种情况说：
r=7（度数2的del Pezzo曲面）
首先，过7个一般点的三次曲线线性系，对应S上的反典范线性系$|-K_S|$，但这个线性系没法给出嵌入——它只是一个双有理映射，像为$\mathbb{P}2$里的一条二次曲线（因为$-K_S$的自交数是$K_S2=9-7=2$），本质是个2:1的覆盖，没法做到单射。
要实现嵌入，得用反典范除子的2倍，也就是$|-2K_S|$。这个线性系在S上是非常丰富的，对应到$\mathbb{P}2$里的线性系是什么呢？因为$-K_S=3H-\sum_{i=1}7 E_i$，所以$-2K_S=6H-2\sum_{i=1}^7 E_i$，也就是每个爆破点处有2阶重点的六次曲线构成的线性系。这个线性系的维数是7，会把S嵌入到$\mathbb{P}^7$中。
r=8（度数1的del Pezzo曲面）
你说得没错，三次曲线的线性系肯定不行——过8个一般点的三次曲线线性系对应$|-K_S|$，它不仅不是非常丰富，就连2倍反典范线性系$|-2K_S|$都没法给出嵌入（这个线性系存在基点，映射会收缩掉某些曲线）。
要得到嵌入，得用3倍反典范除子$|-3K_S|$，它才是非常丰富的。对应到$\mathbb{P}2$里的线性系是$9H-3\sum_{i=1}8 E_i$，也就是每个爆破点处有3阶重点的九次曲线构成的线性系。这个线性系的维数是7，会把S嵌入到$\mathbb{P}^7$中。
总的来说，r=7、8时，反典范线性系（对应三次曲线）都没法实现嵌入，必须取反典范除子的2倍（r=7）或3倍（r=8），对应更高次的平面曲线线性系（带高阶重点）才能完成嵌入。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者ett
