关于KS统计量CDF的两个雅可比θ函数表达式的等式证明疑问

嘿，我看你在推导Kolmogorov-Smirnov统计量CDF的两个和式相等时卡到最后一步了，咱们一起来捋捋问题出在哪～

首先，先把你的起点修正一下：原CDF表达式是
$$Pr(K\leq x) = 1-2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}e{-2n^2x2}$$
可以先整理一下这个求和项：把$(-1)^{{n-1}$写成$-(-1)}n$，代入后式子变成
$$Pr(K\leq x) = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-2n2x^2}$$
这个形式正好对应雅可比θ函数$\vartheta_{01}(0;\tau)$，因为$\vartheta_{01}(0;\tau)$的定义是
$$\vartheta_{01}(0;\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n e^{\pi i n^2 \tau}$$
当我们取$\tau = \frac{2i x^2}{\pi}$时，指数部分$\pi i n^2 \cdot \frac{2i x^2}{\pi} = 2i^2 n^2 x^2 = -2n^2 x^2$，所以
$$\vartheta_{01}(0;\frac{2i x^2}{\pi}) = 1 + 2\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n e^{-2n2x^2}$$
这完全就是CDF的表达式，你之前错误地用了$\vartheta_{00}(1/2;\tau)$，这是第一个关键偏差点。

接下来用雅可比θ函数的模变换公式：$\vartheta_{01}(0;\tau) = \sqrt{\frac{-i}{\tau}} \vartheta_{10}(0; -\frac{1}{\tau})$，咱们代入$\tau = \frac{2i x^2}{\pi}$计算：

• 先算$-\frac{1}{\tau} = -\frac{\pi}{2i x^2} = \frac{\pi i}{2x^2}$（因为$\frac{1}{i}=-i$）
• 再算系数$\sqrt{\frac{-i}{\tau}} = \sqrt{\frac{-i}{\frac{2i x^2}{\pi}}} = \sqrt{\frac{-i \cdot \pi}{2i x^2}} = \sqrt{\frac{\pi}{2x^2}}$（这里$-i/i=-1$，负负得正）

然后看$\vartheta_{10}(0; \frac{\pi i}{2x^2})$，它的定义是
$$\vartheta_{10}(0;\tau) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{\pi i (n+\frac{1}{2})^2 \tau}$$
代入$\tau = \frac{\pi i}{2x^2}$后，指数部分变成
$$\pi i (n+\frac{1}{2})^2 \cdot \frac{\pi i}{2x^2} = -\frac{\pi^2 (n+\frac{1}{2})^2}{2x2} = -\frac{\pi^2 (2n+1)^2}{8x2}$$
所以$\vartheta_{10}(0; \frac{\pi i}{2x^2}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{{-\frac{(2n+1)}2 \pi^2}{8x2}}$

现在拆分这个无穷求和：

• 当$n \geq 0$时，令$k = n+1$，则$2n+1 = 2(k-1)+1 = 2k-1$，求和变成$\sum_{k=1}^{\infty} e^{{-\frac{(2k-1)}2 \pi^2}{8x2}}$
• 当$n < 0$时，令$k = -n$（$k \geq 1$），则$2n+1 = -2k+1 = -(2k-1)$，平方后和$(2k-1)^{2$相等，求和也变成$\sum_{k=1}}{\infty} e^{{-\frac{(2k-1)}2 \pi^2}{8x2}}$

把两部分加起来，整个求和就是$2\sum_{k=1}^{\infty} e^{{-\frac{(2k-1)}2 \pi^2}{8x2}}$

最后把所有部分整合起来：
$$Pr(K\leq x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x^2}} \cdot 2\sum_{n=1}^{\infty} e^{{-\frac{(2n-1)}2 \pi^2}{8x2}} = \frac{\sqrt{2\pi}}{x} \sum_{n=1}^{\infty} e^{{-\frac{(2n-1)}2 \pi^2}{8x2}}$$

这样就完美匹配了你要证明的右边表达式，没有多余的项啦！你的问题主要出在最开始对CDF和θ函数的对应关系选错了，以及后续模变换的参数和求和拆分的细节上，修正这些点就搞定了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者AxelT