用极限的ε定义证明幂的极限性质

嘿，你的思路完全没问题！用三角不等式拆分$|a_{n}^{b_{n}} - a^b|$是非常经典且有效的技巧，咱们一步步把这两个项啃下来就行～

首先先确认你提到的第二个项：$\lim_{n}{a_n^b} = a^b$，这个结论是对的，而且完全可以用ε定义证明，咱们先搞定它：

第一步：证明$\lim_{n}{a_n^b} = a^b$ #

因为$a_n \to a > 0$，所以存在$N_1$，当$n > N_1$时，$a_n$落在区间$(a/2, 2a)$里（毕竟极限是正的，不会跑到0或者无穷远）。对于固定的$b \in \mathbb{R}^{+$，我们可以用放缩来处理$|a_n}b - a^b|$：

• 当$a_n \geq a$时，$a_n^b - a^b = a^b\left( \left(\frac{a_n}{a}\right)^b - 1 \right)$，令$t = \frac{a_n}{a} - 1 \geq 0$，则$\frac{a_n}{a} = 1+t$，由伯努利不等式（当$t \geq 0$，$b > 0$时，$(1+t)^b \leq 1 + bt(2^b - 1)$，可通过单调性验证），所以$\left(\frac{a_n}{a}\right)^b - 1 \leq bt(2^b - 1) = b(2^b - 1)\frac{a_n - a}{a}$，因此$|a_n^b - a^b| \leq a^b \cdot b(2^b - 1)\frac{|a_n - a|}{a} = C|a_n - a|$，其中$C$是只依赖$a$和$b$的常数。
• 当$a_n < a$时，类似地可以得到$|a_n^b - a^b| \leq C|a_n - a|$。

因为$a_n \to a$，对于任意$\varepsilon/2 > 0$，存在$N_1' \geq N_1$，当$n > N_1'$时$|a_n - a| < \frac{\varepsilon}{2C}$，此时$|a_n^b - a^b| < \varepsilon/2$。

第二步：处理$|a_{n}^{b_{n}} - a_{n}^b|$ #

我们把这个项变形一下：$|a_{n}^{b_{n}} - a_{n}^b| = a_n^b \cdot |a_n^{b_n - b} - 1|$，接下来分两部分控制：

1. 控制$a_n^b$的上界：因为$n > N_1$时$a_n < 2a$，所以$a_n^b < (2a)^b$，记这个上界为$K = (2a)^b$，它是个固定的正数。
2. 控制$|a_n^{b_n - b} - 1|$：令$k_n = b_n - b$，因为$b_n \to b$，所以$k_n \to 0$。我们需要证明当$n$足够大时，$|a_n^{k_n} - 1| < \frac{\varepsilon}{2K}$。

怎么用ε定义证这个？分两种情况：

• 当$a_n \geq 1$时：
  • 若$k_n > 0$且$k_n < 1$，由伯努利不等式，$a_n^{k_n} = (1 + (a_n - 1))^{k_n} \leq 1 + k_n(a_n - 1) \leq 1 + k_n(2a - 1)$，所以$a_n^{k_n} - 1 \leq k_n(2a - 1)$。
  • 若$k_n < 0$，令$k_n = -m_n$（$m_n > 0$），则$a_n^{k_n} = 1/a_n^{{m_n}$，而$a_n}{m_n} \leq 1 + m_n(2a - 1)$，所以$1/a_n^{m_n} \geq 1/(1 + m_n(2a - 1)) \geq 1 - m_n(2a - 1)$（利用$1/(1+x) \geq 1 - x$对$x \geq 0$成立），因此$|a_n^{k_n} - 1| = \frac{a_n^{m_n} - 1}{a_n^{m_n}} \leq a_n^{m_n} - 1 \leq m_n(2a - 1) = |k_n|(2a - 1)$。
• 当$0 < a_n < 1$时：令$c_n = 1/a_n > 1$，则$a_n^{k_n} = 1/c_n^{{k_n}$，$|a_n}{k_n} - 1| = \frac{|c_n^{k_n} - 1|}{c_n^{k_n}} \leq |c_n^{k_n} - 1|$，而$c_n \in (1/(2a), 2/a)$，用上面的方法可得$|c_n^{k_n} - 1| \leq |k_n|(\frac{2}{a} - 1)$。

取$\delta = \min\left{1, \frac{\varepsilon}{2K(2a - 1)}, \frac{\varepsilon}{2K(\frac{2}{a} - 1)}\right}$（如果$a=1/2$，则$2a=1$，$a_n \in (1/4,1)$，直接用第二种情况的放缩即可），因为$k_n \to 0$，所以存在$N_2 \geq N_1'$，当$n > N_2$时$|k_n| < \delta$，此时$|a_n^{k_n} - 1| < \frac{\varepsilon}{2K}$，进而$|a_{n}^{b_{n}} - a_{n}^b| < K \cdot \frac{\varepsilon}{2K} = \varepsilon/2$。

第三步：整合结论 #

取$N = N_2$，当$n > N$时，由三角不等式：
$$|a_{n}^{b_{n}} - a^b| \leq |a_{n}^{b_{n}} - a_{n}^b| + |a_{n}^b - a^b| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$
这就满足了极限的ε定义，因此$\lim_{n}{a_{n}^{b_n}} = a^b$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Laura