关于凹函数不等式$2F\left(\frac{x+y}{2}\right)\geq F(x)+F(y)$的积分法证明及替代证明问询

这是之前问题 "证明$f(x,y)+f(y,z)\ge f(x,z)$，其中$f(x,y)=\sqrt{x\ln x+y\ln y-(x+y)\ln(\frac{x+y}2)}$" 的后续讨论：

我先快速给出用二阶导数推导的核心思路，细节就不展开了：
对于所有正数$a,b,c,x>0$，定义函数：
$$F(x)=g(x,abx/c)-g(x,xa)+g(abx/c,xa)$$
其中$g(x,y)$满足：
$$g^2(x,y)=x\ln x+y\ln y-(x+y)\ln\frac{x+y}{2}$$
可以证明，对任意$x>0$都有$F''(x)\leq 0$，也就是说$F(x)$是凹函数。结合Jensen不等式，我们就能得到对任意$x,y>0$成立的不等式：
$$2F\left(\frac{x+y}{2}\right)\geq F(x)+F(y)\tag{I}$$

现在我有两个问题想请教大家：

• 能不能用积分方法证明这个不等式(I)？比如可以考虑利用Hermite-Hadamard不等式来处理凸/凹函数的积分性质？
• 除了我已经给出的二阶导数法，有没有其他替代的证明思路可以推导出不等式(I)？

最后补充一些和原不等式相关的推导细节：
针对原不等式$f(x,y)+f(y,z)\ge f(x,z)$，我分情况讨论了相关函数的凹凸性：

1. 当$0<x<1,a>1$时，函数
   $$f\left(x\right)=\sqrt{x\ln\left(x\right)-\left(x+1\right)\ln\frac{x+1}{2}}+\sqrt{a\ln\left(a\right)-\left(a+1\right)\ln\frac{a+1}{2}}-\sqrt{x\ln\left(x\right)+a\ln\left(a\right)-\left(x+a\right)\ln\frac{x+a}{2}}$$
   是凸函数，因此有：
   $$f(x)\geq \left(x-1\right)\cdot\lim_{x\to 1^{-}}f'\left(1\right)>0$$
2. 当$1<x<a$时，$f(x)$是凹函数，因此：
   $$f(x)>\left(x-1\right)\cdot\lim_{x\to a^{-}}\frac{\left(f\left(1\right)-f\left(x\right)\right)}{1-x}>0$$
3. 当$x>a>1$时，可证得$f'(x)<0$，且$\lim_{x \to \infty }f(x)>0$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Barackouda