代数闭域下多项式幂的变量归属问题求证

嘿，这个问题我之前在做消元法和簇投影的相关证明时也纠结过！一开始觉得理所当然，仔细一想又有点拿不准——不过可以明确告诉你：在代数闭域（其实哪怕是更一般的整环都成立，代数闭域肯定满足这个条件）的前提下，这个结论是绝对成立的，不存在你担心的“变量消失”的反例。

先给结论 #

假设 $k$ 是代数闭域，$f \in k[x_1, x_2, ..., x_n]$，如果存在正整数 $m$ 使得 $f^m \in k[x_{t+1}, ..., x_n]$，那么必然有 $f \in k[x_{t+1}, ..., x_n]$。

两种证明思路给你参考 #

思路1：从多项式展开的角度分析

把 $f$ 拆成关于 $x_1, ..., x_t$ 的多项式，也就是：
$$f = \sum_{I} a_I(x_{t+1}, ..., x_n) \cdot x^I$$
这里 $I$ 是 $t$ 元非负整数组，$x^I = x_1^{i_1}x_2{i_2}...x_t^{i_t}$，$a_I$ 是 $k[x_{t+1}, ..., x_n]$ 中的多项式。

如果 $f$ 不在 $k[x_{t+1}, ..., x_n]$ 里，那至少存在一个非零的 $a_I$ 对应非零指标组 $I$（也就是 $I$ 中至少有一个分量大于0）。现在看 $f^m$ 的展开：根据多项式乘法的规则，$f^m$ 中会包含项 $a_I^m \cdot x^{mI}$——因为 $k$ 是域（整环），非零元素的幂还是非零，而且 $x^{mI}$ 里的变量 $x_1,...,x_t$ 次数都是正的，这就意味着 $f^m$ 里必然含有 $x_1,...,x_t$ 的项，和题设 $f^m \in k[x_{t+1}, ..., x_n]$ 矛盾。所以 $f$ 只能属于这个子环。

思路2：用整环与整闭性的代数性质

多项式环 $k[x_1,...,x_n]$ 是整环（域上的多项式环肯定没有零因子），而 $k[x_{t+1},...,x_n]$ 是它的子整环，并且这个子环是整闭的（因为UFD都是整闭的，多项式环是UFD）。

现在 $f^m \in k[x_{t+1},...,x_n]$，说明 $f$ 是子环 $k[x_{t+1},...,x_n]$ 上的整元（满足方程 $y^m - c = 0$，其中 $c = f^m$ 属于子环）。而整闭整环的整元都包含在自身里，所以 $f$ 必然属于 $k[x_{t+1},...,x_n]$。

关于反例的疑问 #

完全不存在这样的反例！因为整环里没有零因子，只要原多项式 $f$ 含有某个变量的非零次项，那它的任何正整数幂展开后，这个变量的项都不会消失——非零项相乘不会变成零，所以不可能出现“变量在幂次中消失”的情况。

这个结论在代数几何的消元法证明里特别实用，比如你要证明投影簇的理想对应原理想的消元理想时，经常会用它来反向推导多项式属于消元理想。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ABC