椭圆曲线点加倍计算疑问：λ取值与结果矛盾问题

你好，我来帮你梳理下这个问题的核心所在——你首先在计算λ的时候就出现了逆元的错误，导致λ取了正确值的相反数，进而引发后续的结果矛盾。咱们一步步拆解：

首先，先重新核对你的计算步骤：
给定椭圆曲线 $y^2 = x^3 + 3x + 6 \pmod{31}$，点 $P(1,17)$，先确认P确实在曲线上：$1^{3+3*1+6=10$，$17}2=289≡289-9*31=10 \pmod{31}$，没问题。

接下来计算λ：
公式是 $λ=(3x_p^2+a)(2y_p){-1} \pmod{31}$

• 计算分子：$3x_p^2+a=3*12+3=6$
• 计算分母：$2y_p=2*17=34≡3 \pmod{31}$
• 求3在模31下的逆元：找整数k使得 $3k≡1 \pmod{31}$，不难算出$321=63≡63-231=1$，所以逆元是21，不是你可能误算的10（10是-21 mod31）。

所以正确的λ应该是 $621=126≡126-431=2 \pmod{31}$，而不是你得到的29（29≡-2 mod31）。

现在用正确的λ计算2P：

• $x_r=λ^2-2x_p=22-2*1=4-2=2$，这部分你算对了
• $y_r=λ(x_p - x_r)-y_p=2*(1-2)-17= -2-17=-19≡-19+31=12 \pmod{31}$，这就和在线计算器的结果$(2,12)$一致了。

那你之前的问题出在哪？

1. 你误算了$(2y_p)$的逆元，得到了λ=-2（即29 mod31），这时候用错误的λ直接计算$y_r$会得到16，但这个点$(2,16)$根本不在曲线上（验证下：$2^{3+3*2+6=20$，$16}2=256≡8 \pmod{31}$，8≠20），是无效的点。
2. 当你用-λ代替λ计算$y_r$时，相当于纠正了λ的符号错误，得到了正确的$y_r=12$，但这只是巧合的修正，本质上你的λ计算一开始就错了。
3. 至于你说“再加倍到4P时用λ又能行”，大概率是你后续计算时又混淆了点的y坐标符号——因为椭圆曲线上每个x对应两个互为相反数的y值（mod p下），如果后续你用的是正确的点$(2,12)$，那它的加倍计算自然要用正确的λ公式，这时候就不会再出现矛盾了。

总结一下：核心错误是模逆元计算错误，导致λ取了正确值的相反数，后续的符号调整只是临时修正，但没有解决根源问题。只要把逆元算对，整个流程就会和在线计算器一致啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rumpel Stilzchen