关于利用柯西定理求解复积分的疑问

嘿，我看到你的问题啦，先提个小细节：你写的积分里路径是$|w|=1$，但积分变量是$dz$，这应该是笔误吧？应该是$dw$才对哦，不然积分路径和变量对应不上，咱们先按$dw$来分析～

你的结论只对了一半，得根据$|z|$的大小分情况讨论：

• 当$|z|<1$时：
  这时候点$z$在单位圆$|w|=1$的内部，函数$f(w)=\frac{e^{w}{w-z}$在闭圆盘$|w|\leq1$上，只有$w=z$这一个奇点。这时候不能直接用柯西定理（柯西定理要求函数在闭区域内**全解析**），反而应该用**柯西积分公式**：对于在闭区域内解析的函数$g(w)=e}w$，有
  $$\int_{|w|=1} \frac{g(w)}{w-z} dw = 2\pi i \cdot g(z)$$
  代入$g(w)=e^w$，就能得到积分结果是$2\pi i e^z$。

• 当$|z|>1$时：
  这时候点$z$在单位圆外部，函数$f(w)=\frac{e^w}{w-z}$在闭圆盘$|w|\leq1$上是全解析的（因为分母的零点$w=z$不在这个闭圆盘范围内），这时候你的结论是对的，根据柯西定理，这个闭路径积分等于0。

简单来说，你之前的问题主要是没区分$z$的位置对应的情况，当$z$在积分路径内部时，函数存在奇点，不能直接套用柯西定理，得用柯西积分公式才行～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ludwig