关于有界线性算子伴随式等式的证明疑问（MacCluer《初等泛函分析》命题2.13的c、d部分）

嗨，我看了你关于MacCluer《初等泛函分析》命题2.13里c)和d)的推导困惑，咱们一步步拆解清楚～

先解决c)部分的矛盾：你误用了内积性质和伴随定义 #

你之前的推导里出现矛盾，是因为在第一步就走偏了，咱们回到伴随算子的核心定义：对任意有界线性算子$T\in\mathscr{B}(\mathscr{H})$，伴随$T^*$满足对所有$x,y\in\mathscr{H}$，有：
$$\langle T^*x, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$$

咱们用这个定义直接推导c)：

1. 对$T=\alpha A$，根据定义：
   $$\langle (\alpha A)^*x, y\rangle = \langle x, (\alpha A)y\rangle = \langle x, \alpha Ay\rangle$$
   内积对第二个变量是共轭线性的，所以$\langle x, \alpha Ay\rangle = \overline{\alpha}\langle x, Ay\rangle$。

2. 再看右边的$\overline{\alpha}A^*$，计算它的内积：
   $$\langle \overline{\alpha}A^*x, y\rangle = \overline{\alpha}\langle A^*x, y\rangle$$
   这里用了内积对第一个变量的线性性质，然后再用伴随定义，$\langle A^*x, y\rangle = \langle x, Ay\rangle$，所以这部分也等于$\overline{\alpha}\langle x, Ay\rangle$。

两边的内积对所有$x,y$都相等，根据内积的非退化性，就得到$(\alpha A)^* = \overline{\alpha}A^*$啦。

你之前的错误点：

• 不该先引入双伴随$(\alpha A)^{**}$，直接用原始定义就够了；
• 计算$\langle \overline{\alpha} A^*x,y\rangle$时，错误地把系数$\overline{\alpha}$移到了第一个变量里，这违背了内积的线性规则——内积对第一个变量是线性的，系数应该留在外面，而不是和$x$结合。

再确认d)部分：你的推导完全正确！ #

你对d)的推导逻辑非常严谨，每一步都踩中了伴随定义的关键点：
$$\langle x,B^*A*y \rangle = \langle Bx,A^y\rangle = \langle ABx,y\rangle = \langle x, (AB)^ y\rangle$$

• 第一步：对$B^{*$用伴随定义，把$B}*$从右边移到左边，变成$B$作用在$x$上；
• 第二步：对$A^{*$用伴随定义，把$A}*$从右边移到左边，变成$A$作用在$Bx$上；
• 第三步：根据伴随的定义，$\langle ABx,y\rangle$就是$\langle x, (AB)^* y\rangle$。

因为对所有$x,y$，$\langle x, B^*Ay\rangle = \langle x, (AB)^ y\rangle$，再结合内积的非退化性，就可以直接得出$(AB)^* = B^*A*$，完全没问题～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者youngeAn