关于可加分离函数单调变换的一阶齐次函数形式的技术问询

各位大佬好，我最近碰到一个关于凹的一阶齐次函数的问题，想和大家探讨一下：

已知 ( n > 1 )，函数 ( f:\mathbb{R}^n_{\ge 0}\rightarrow\mathbb{R}_{\ge 0} ) 满足以下三个条件：

• 连续可微
• 是凹函数
• 一阶齐次（也就是对任意非负实数 ( s ) 和非负向量 ( x\in\mathbb{R}^n_{\ge 0} )，都有 ( f(sx)=sf(x) )）

同时，这个函数 ( f ) 可以表示成一个单调递增函数对可加分离函数的变换：存在连续可微的单调递增函数 ( g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}{\ge 0} )，以及一组连续可微函数 ( h_1,\dots,h_n:\mathbb{R}{\ge 0}\rightarrow\mathbb{R} )，使得对所有 ( x\in\mathbb{R}^n_{\ge 0} )，都有：
$$f(x)=g\left(h_1(x_1)+\cdots+h_n(x_n)\right)$$

核心问题 #

是否一定存在实数 ( a_1,\dots,a_n ) 和非负实数 ( \rho,b_1,\dots,b_n )，让每个 ( h_i ) 都能写成如下形式？
$$h_i(x)=a_i+b_i \frac{x^{1-\rho}-1}{1-\rho}$$
（注：当 ( \rho=1 ) 时，上式替换为 ( h_i(x)=a_i+b_i\log(x) )）

补充提示 #

我想到欧拉齐次函数定理可以给出一个微分方程：
$$g\left(h_1(x_1)+\cdots+h_n(x_n)\right)=\left(h_1'(x_1)x_1+\cdots+h_n'(x_n)x_n\right)g'\left(h_1(x_1)+\cdots+h_n(x_n)\right)$$

想问问大家，这个微分方程对解决上面的问题有没有帮助？或者有没有其他思路可以切入？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者cfp