关于函数$f(x)=\sin(\cos(x))$的吸引不动点及偶次迭代序列收敛性的技术问询

大家好，我最近在研究三角函数迭代相关的问题，遇到了两个困惑点，想请教一下社区的各位大佬：

问题1：$f(x)=\sin(\cos(x))$的吸引不动点 #

考虑函数 $f(x)=\sin(\cos(x))$，它的吸引不动点是什么？也就是满足$\lim_{n\rightarrow\infty} \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n次}(x) = x$的所有$x$值构成的集合。

问题2：偶次迭代序列$F_{2k}(x)$的收敛性 #

定义迭代序列$F_n(x)$如下：
$$F_n(x)=
\begin{cases}
F_{n-2}(\sin(\cos(x)))&\text{ if }n\geq 2\
\cos(x)&\text{ if }n=1\
x&\text{ if }n=0
\end{cases}$$
想请教一下：$\lim_{k\rightarrow\infty} F_{2k}(x)$是否存在？

另外我自己做了数值实验，得到了一个接近$\ln(2)$的不动点，但不确定这是不是巧合，想确认这个结果有没有理论依据。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Emanuel Landeholm