关于数学公理定义分歧及主流公理真实性存疑的专业问询

我这一辈子接触到过三种完全不同的数学公理定义，每一种都让我觉得有点别扭：

• 第一种：公理是必须靠“信仰”接受的陈述，不相信的人轻则扣分挂科，重则……懂的都懂（玩笑话）。
• 第二种：公理是那种没法用数学方法证明，但但凡有点脑子、讲道理的人都能一眼看出是对的玩意儿。潜台词仿佛在说：“你总不会是不讲道理的人吧？”
• 第三种：公理是构建数学体系的“世界观设定”，它定义了这套数学到底是什么。公理“错误”的概念要么根本没意义，要么代表着一套完全不同的数学体系。比如问“要是选择公理其实是错的会怎样？”，就好比问“要是达斯·维达不是卢克的爹会怎样？”——能编出有意思的故事，但那已经不是《星球大战》了。

说实话，这三种定义我都不太满意。第三种相对来说最合理，但它也暗示了数学和现实的联系可能没大多数人想的那么紧密。

聊完定义，我真正想问的是：有没有数学家或者数学流派，真的严肃质疑过某个主流数学公理（比如欧几里得公理、选择公理这类）的真实性？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Robert Columbia